数学における冪集合公理（べきしゅうごうこうり、英: axiom of power set）とは、公理的集合論のツェルメロ＝フレンケルの公理系の一つである。
ツェルメロ＝フレンケルの公理系の形式言語において、この公理は次のように記述される： ∀ A ∃ P ∀ B [ B ∈ P ⟺ ∀ C ( C ∈ B ⇒ C ∈ A ) ] {\displaystyle \forall A\,\exists P\,\forall B\,[B\in P\iff \forall C\,(C\in B\Rightarrow C\in A)]}
ここで P は A の冪集合 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} を表す。この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる：任意の集合 A が与えられたとき、ある集合 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} が存在し、 B のすべての元が A の元でもあるとき、またそのときに限り、 B が P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} に属する。
部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。
冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、構成的集合論
（英語版）においては可述性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。冪集合公理は、二つの集合 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} に対し、次のようなデカルト積の簡単な定義を許す： X × Y = { ( x , y ) ; x ∈ X ∧ y ∈ Y } . {\displaystyle X\times Y=\{(x,y);\ x\in X\land y\in Y\}.}
ここで x , y ∈ X ∪ Y , {\displaystyle x,y\in X\cup Y,} { x } , { x , y } ∈ P ( X ∪ Y ) , {\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y),} ( x , y ) := { { x } , { x , y } } ∈ P ( P ( X ∪ Y ) ) {\displaystyle (x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}
であり、 X × Y ⊆ P ( P ( X ∪ Y ) ) {\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}
であるため、このデカルト積は集合であることに注意されたい。
任意の有限集合の類に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る： X 1 × ⋯ × X n := ( X 1 × ⋯ × X n − 1 ) × X n . {\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}:=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.}
デカルト積の存在は、クリプキ＝プラテクの集合論
（英語版）におけるように、冪集合公理を用いなくても証明できることに注意されたい。出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2023年9月）
Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
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歴
集合論
基本
集合
元
包含関係
内包と外延
クラス
ベン図
演算
和集合
非交和
共通部分
素集合