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出典検索?: "写像" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2021年4月）

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写像（しゃぞう、英: mapping, map）は、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のことである。関数、変換、作用素、射などが写像の同義語として用いられる[1][2]こともある。

ブルバキに見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。現代的な立場では、「写像」と（一価の）「関数」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「関数」の語は解析学に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも関数の名の下におなじ範疇に扱われる（多価関数参照）。文献によっては「数の集合（大抵の場合実数体 R または複素数体 C の部分集合）を終域に持つ写像」をして特に「関数」と呼び、「写像」はより一般の場合に用いる[3][4]。関数、二項関係、対応の各項も参照のこと。
定義
素朴な説明「関数 (数学)」も参照

集合 A の各元に対してそれぞれ集合 B の元をただひとつずつ指定するような規則 f が与えられているとき、f を「定義域（あるいは始域） A から終域 B への写像」といい f : A → B , A → f B {\displaystyle f\colon A\to B,\quad A{\stackrel {f}{{}\to {}}}B}

などと表す。また f は A で（あるいは A の上で）定義されているといい、あるいはまた f は B に（あるいは B の中に）値を持つという。始域 A を sour(f)、終域 B を tar(f) のように記すこともある。また、A の元 a に対して f によって指定される B の元が b である（このことを、a が f によって b に写されるという）とき、b を a における f の像あるいは値（あたい、value）と呼び、b を f(a) で表す。 f によって A の元 a が B の元 f(a) に写されることは、

a ↦ f(a)

という記法で表される[5]。@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}変数 x を用いて x ? f(x) のように写像を表すとき、f は、 A をわたる（または動く）変数 x の関数である、あるいは変数 x に従属するという[要出典]。
相等関係

2つの写像 f : A→B、 g : A→B の相等関係について、次が成り立つ：

f = g ⇔ ∀a∈A ( f(a) = g(a) )[6]。
関係の一種として定義する場合「二項関係」も参照

集合論においては、集合 A, B の元の順序対からなる集合（すなわち二項関係）f が

x ∈ A ならば (x, y) ∈ f を満たす y ∈ B が存在する

(x, y1) ∈ f かつ (x, y2) ∈ f ならば y1 = y2

の二つをみたすとき、f を A から B への関数と呼び[7]、f: A → B で表す。またこのとき、(x, y) ∈ f であることを f(x) = y と書く。この文脈では、f と f のグラフ {(x, y) 。y = f(x)} を同一視し、関数と写像を同じ意味に用いる。二つの写像 f と g の相等は、集合として同一であるということ、すなわち∀x∀y ( (x,y) ∈ f ⇔ (x,y) ∈ g )

ということであるが、これは（ f と g の定義域が等しく、かつ）任意の a ∈ A に対して f(a) = g(a) であることと同値である。
3つの集合からなる組の一種として定義する場合

一方、圏論の用語との整合性を重んじる文脈では、次のようになる。集合 A, B の元の順序対からなる集合（すなわち二項関係）Gf が

全域性: x ∈ A ならば (x, y) ∈ Gf を満たす y ∈ B が存在する

右一意または関数的: (x, y1) ∈ Gf かつ (x, y2) ∈ Gf ならば y1 = y2

の二つをみたすとき、三つ組 f := (A, B, Gf) をこの関数関係 Gf から定まる A から B への写像と呼び、f: A → B で表す。またこのとき、(x, y) ∈ Gf であることを f(x) = y と書き、Gf = {(x, y) 。y = f(x)} を写像 f のグラフと呼ぶ。