数学において写像あるいは函数の合成（ごうせい、英: composition）とは、ある写像を施した結果に再び別の写像を施すことである。
たとえば、時刻 t における飛行機の高度を h(t) とし、高度 x における酸素濃度を c(x) で表せば、この二つの函数の合成函数 (c ? h)(t) = c(h(t)) が時刻 t における飛行機周辺の酸素濃度を記述するものとなる。 例えば、二つの写像 f: X → Y および g: Y → Z について、g の引数を x の代わりに f(x) とすることにより、f と g を「合成」(compose) することができる。直観的には、z が写像 g で対応する y の函数で、y が写像 f で対応付けられる x の函数ならば、z は x の函数であるということを述べている。 これにより、写像 f: X → Y と写像 g: Y → Z との合成写像 (composite function/mapping) g ∘ f : X → Z , X → f Y → g Z ⏟ f ; g ( = g ∘ f ) {\displaystyle g\circ f\colon X\to Z,\quad \underbrace {X{\stackrel {f}{{}\to {}}}Y{\stackrel {g}{{}\to {}}}Z} _{\qquad f;g(=g\circ f)}} が X の各元 x に対して ( g ∘ f ) ( x ) := g ( f ( x ) ) {\displaystyle (g\circ f)(x):=g(f(x))} とおくことによって定まる。"g ? f" は図式的に写像 f, g を施す順番とは逆順となるため、しばしば正順に "fg", "f ; g" などと記す流儀もみられる（後述）。これらに「読み」を与えるならば、「f と g との合成」「f に g を合成」「f に引き続いて g を施す」「f と g との積」、「g の前に f を施す」「g を f の後で施す」「g の f（の x）」「g まる f」などとなる。 写像の合成は、それが定義される限りにおいて常に結合的である。すなわち、f, g, h がそれぞれ（合成が定義できるように）適当に選ばれた始域
導入
が成り立つ。ここで、括弧はそれが付いているところから先に合成を計算することを指し示すためのものである。これは括弧をつける位置の選び方は写像の合成の結果に影響を及ぼさないということを意味しているから、括弧を取り除いても意味を損なうことは無く、しばしば括弧を省略して h ∘ g ∘ f , f ; g ; h {\displaystyle h\circ g\circ f,\quad f\,;\,g\,;\,h}
と書かれる。写像の数がさらに増えても同様である。
二つの写像 f と g が互いに可換であるとは、 g ∘ f = f ∘ g ( ⟺ ( g ∘ f ) ( x ) = ( f ∘ g ) ( x ) for any x ) {\displaystyle g\circ f=f\circ g\quad (\iff (g\circ f)(x)=(f\circ g)(x){\text{ for any }}x)}
を満たすことをいう。一般には写像の合成は可換ではなく（少なくとも f: X → Y かつ g: Y → X といったような形の写像になっておらず f ; g か g ; f の何れかが定義できないとか、X = Y といったような条件がないとこれらふたつの合成写像の値を等しいかどうか考えることすらできないといったような可能性があるのは明らかである）、合成の可換性は特定の写像の間でのみ、特殊な事情の下でしか成立しない特別な性質である。たとえば、f(x) = |x。を実数の絶対値をとる函数、g(x) = x + 3 とすれば、実数からなる半開区間 X = [0, ∞) := {x ∈ R : x ≥ 0} 上の函数として、 ( g ∘ f ) ( x ) = 。 x 。 + 3 = 。 x + 3 。 = ( f ∘ g ) ( x ) for any x ≥ 0 {\displaystyle (g\circ f)(x)=|x|+3=|x+3|=(f\circ g)(x){\text{ for any }}x\geq 0}
が成り立つが、これは負の実数も含めた実数全体では成り立たない。集合 X 上の変換写像 φ: X → X が逆写像 φ−1: X → X を持つならば、これらは常に可換であり φ ∘ φ − 1 = φ − 1 ∘ φ = i d X {\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{-1}=\varphi ^{-1}\circ \varphi =\mathrm {id} _{X}}
が成り立つ。ここに、idX は集合 X 上の恒等写像である。
写像を関係の特別な場合（つまり一意対応あるいは函数関係）と考える場合にも、関係の合成 g ∘ f ⊂ X × Z {\displaystyle g\circ f\subset X\times Z} が、 f ⊂ X × Y {\displaystyle f\subset X\times Y} と g ⊂ Y × Z {\displaystyle g\subset Y\times Z} を用いた式として、同様に定義される。
可微分写像同士の合成写像の微分は連鎖律を用いることによって求められる。またその高階微分はファア・ディ・ブルーノの公式（英語版）で与えられる。
写像の合成によって与えられる構造は公理化され、圏論において一般化される。 集合 X とその部分集合 Y ⊂ X に対し、写像 f: X → Y はそれ自身と合成することができる。この合成写像をしばしば f2 で表す。同様に自分自身との合成を繰り返して ( f ∘ f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) = f 2 ( x ) ; ( f ∘ f ∘ f ) ( x ) = f ( f ( f ( x ) ) ) = f 3 ( x ) ; ( f ∘ f ∘ ⋯ ∘ f ⏟ n times ) ( x ) = f ( f ( ⋯ ( f ( ⏟ n times x ) ⋯ ) ) ) ⏟ n times = f n ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}&(f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x);\\&(f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^{3}(x);\\&(\underbrace {f\circ f\circ \cdots \circ f} _{n{\text{ times}}})(x)=\underbrace {f(f(\cdots (f(} _{n{\text{ times}}}x\underbrace {)\cdots )))} _{n{\text{ times}}}=f^{n}(x)\end{aligned}}} という合成写像の列が得られる。このようにある写像を自身と繰り返し合成することで得られる合成写像を反復合成写像などと呼ぶ。 自然数 n に対し帰納的に定まる写像の反復合成冪 (functional powers) f ? fn = fn ? f = fn+1 は以下のように拡張すると便利である。 ある場合には、f についての式 g(x) = f r(x) が適当な g の満たす性質から整数ではない r について成立することが導かれることがありうる。これを分数回反復
写像の冪
規約として、f0 := idD(f) とする（右辺は f の始域 D(f) 上の恒等写像である）。
f: X → X が逆写像 f−1 を持つならば、写像f の負の整数を指数とする合成冪を、逆写像の自然数冪 f − k := ( f − 1 ) k = f − 1 ∘ ⋯ ∘ f − 1 ( k > 0 ) {\displaystyle f^{-k}:=(f^{-1})^{k}=f^{-1}\circ \cdots \circ f^{-1}\quad (k>0)} と定める。
注意
f が環に値をとる写像（特に f が実数値や複素数値函数）のときは冪の記法に誤解の余地が生じる。すなわち、f2(x) = f(x) • f(x) のように、f の n 個の元ごとの積に対して fn という記法を用いている可能性があることに注意すべきである。三角函数の慣習的な記法は、少なくとも（正の）自然数冪については後者（元ごとの冪）の意味で用いられている。たとえば、sin2(x) = {sin(x)}2 の意味である（三角函数の項などを参照）。ただし、負の整数冪については事情が異なり、特に (−1)-乗は、例えば tan−1(x) = arctan(x) (≠ 1/tan(x)) のように、逆函数の意味（合成冪）として用いるのが普通である。