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円錐の切断

円錐曲線（えんすいきょくせん、英語: conic curve）とは、円錐面を任意の平面で切断したときの断面、円錐断面（英語: conic section）として得られる曲線群の総称である。
歴史

古代ギリシャのアポロニウスが円錐曲線論の体系を著書にまとめ、[1]中世ヨーロッパではケプラーによって天体の軌道との関連が見出された。またアポロニウスによる総合幾何学的な円錐曲線論はオイラーによって解析幾何学を用いて現代的に書き換えられた。
概要

楕円

放物線

双曲線

断面

円を含む円錐曲線の図の例（学問によっては、正円を円錐曲線に含まない。）

円錐曲線は、xy-平面 R2 上で定義され、次の陰関数曲線によって与えることが出来る。 A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}

また、任意の2次式 P(x,y) に対し、P(x,y) = 0 が円錐曲線になTることから、円錐曲線は二次曲線とも呼ばれる。

任意の円錐曲線は、適当に直交変換することによって、次の形のいずれかに変形することができる（括弧内は円錐の切断方法）。

円（全ての母線と交わり、底面に平行な平面で切断）
X 2 + Y 2 = r 2 {\displaystyle X^{2}+Y^{2}=r^{2}\quad }

楕円（全ての母線と交わり、底面に平行でない平面で切断）
p X 2 + q Y 2 = 1 {\displaystyle pX^{2}+qY^{2}=1\quad }

放物線（母線に平行な面で切断）
2 p X − q Y 2 = 1 {\displaystyle 2pX-qY^{2}=1\quad }

双曲線（母線に平行でない平面で切断）
p X 2 − q Y 2 = 1 {\displaystyle pX^{2}-qY^{2}=1\quad }

二直線（軸を全て含む平面で切断）
p X 2 − q Y 2 = 0 {\displaystyle pX^{2}-qY^{2}=0\quad }

尚、全て p>0, q>0 である。上の形の式を円錐曲線の標準形という。ただし、二直線は退化していると考え、円錐曲線に含まない場合も多い。また、楕円と正円とは円錐曲線の種別としてはしばしば区別を受けない。学問によっては、正円を円錐曲線に含まないこともある。
共焦点有心円錐曲線族

次の式を考える x 2 a 2 − k + y 2 b 2 − k = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-k}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-k}}=1\quad } �@

ただし、a > 0 , b > 0 , k ≠ b2 , k < a2 である。

この式は楕円の式そして双曲線の式に似ている。この式は、 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad } �A に対して