円周率
使用
円板の面積
有名な数学的事実であるところの、円周率 π が 22/7 より小さいことの証明(えんしゅうりつが7ぶんの22よりちいさいことのしょうめい)は、古代ギリシアのアルキメデスに始まり、何通りも与えられている。本項では、そのうちの一つで、微分積分学の初等的なテクニックのみを用いる、近年に発見された証明を扱う。この証明は、その数学的な美およびディオファントス近似の理論との関係によって、現代数学においても注目されてきた。スティーヴン・ルーカスは、これを「π の近似に関する最も美しい結果の一つ」と呼び[1]、ジュリアン・ハヴィルは、円周率の連分数近似の議論を終える際に「この結果に言及せざるを得ない」と述べた上で証明を示している[2]。
もし円周率が 3.14159 に近いことを知っていれば、22/7（3.142857 に近い）よりも小さいことは自明である。しかし、π < 22/7 を示すのは、π が 3.14159 に近いことを示すよりもずっと手間は小さい。この証明の評価方法は一般化され、円周率の値を計算する系統的な方法になっている。 22/7 は、π の正則な連分数展開から得られる近似値の一つであり、表現が簡潔であることから π の近似値として広く用いられている。22/7 が π よりも大きいことは、これらの値の十進法での小数展開 22 7 = 3. 142 857 ¯ , π = 3.141 592 65 ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3.{\overline {142\,857}},\\\pi \,&=3.141\,592\,65\cdots \end{aligned}}}
目次
1 背景
2 証明
3 積分の評価の詳細
4 直ちに得られる円周率の評価
5 より良い評価
6 一般化
6.1 例
7 脚注
7.1 注釈
7.2 出典
8 関連文献
9 関連項目
10 外部リンク
背景