円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の m ( > 2 ) {\displaystyle m(>2)} 乗根 ζ ( ≠ ± 1 ) {\displaystyle \textstyle \zeta (\neq \pm 1)} を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。

以下において、特に断らない限り、 ζ n = e 2 π i / n {\displaystyle \zeta _{n}=e^{2\pi i/n}} とする。
性質

3 以上の整数 m に対して、円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} の拡大次数 [ Q ( ζ m ) : Q ] {\displaystyle \textstyle [\mathbb {Q} (\zeta _{m}):\mathbb {Q} ]} は、 φ ( m ) {\displaystyle \textstyle \varphi (m)} である。但し、 φ ( n ) {\displaystyle \textstyle \varphi (n)} はオイラー関数である。

任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。

3 以上の整数 m に対して、 m = p 1 e 1 ⋯ p r e r {\displaystyle \textstyle m=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{r}^{e_{r}}} ( p 1 , … ,   p r {\displaystyle \textstyle p_{1},\ldots ,\ p_{r}} は、相異なる素数、 e 1 , … , e r ≧ 1 ) {\displaystyle \textstyle e_{1},\ldots ,e_{r}\geqq 1)} と素因数分解すると、
Q ( ζ m ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} は、 Q ( ζ p 1 e 1 ) , … ,   Q ( ζ p r e r ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p_{1}^{e_{1}}}),\ldots ,\ \mathbb {Q} (\zeta _{p_{r}^{e_{r}}})} の合成体であり、 Gal ⁡ ( Q ( ζ m ) / Q ) ≅ ( Z / m Z ) × ≅ ( Z / p 1 e 1 Z ) × × ⋯ × ( Z / p r e r Z ) × {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{m})/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /p_{1}^{e_{1}}\mathbb {Z} )^{\times }\times \cdots \times (\mathbb {Z} /p_{r}^{e_{r}}\mathbb {Z} )^{\times }} が成立する。また、円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} で分岐する有理素数[注釈 1]は、 p 1 , … ,   p r {\displaystyle \textstyle p_{1},\ldots ,\ p_{r}} に限る。

Q ( ζ m ) ∩ R = Q ( ζ m + 1 / ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})\cap \mathbb {R} =\mathbb {Q} (\zeta _{m}+1/\zeta _{m})} である。この Q ( ζ m + 1 / ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m}+1/\zeta _{m})} を、最大実部分体または実円分体という。

一意分解整域となる円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} ( m ≢ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle \textstyle (m\not \equiv 2{\pmod {4}}} )[注釈 2]は、m が 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 の場合だけである。

特に、23 以上の素数 p に対しては、円分体 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} は一意分解整域でない。


類数が 2 である円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} ( m ≢ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle \textstyle (m\not \equiv 2{\pmod {4}}} ) は、m = 39, 56 だけである。

円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} に含まれる代数的整数の集合は、 Z [ ζ m ] {\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} [\zeta _{m}]} である。

円分体の判別式

m を 3 以上の整数として、円分体を K = Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{m})} とする。

(1) m が素数のとき

K の判別式は、 ( − 1 ) ( m − 1 ) / 2 m m − 2 {\displaystyle (-1)^{(m-1)/2}m^{m-2}} である。

(2) m = p h {\displaystyle m=p^{h}} (p は素数、h は 2 以上の整数)のとき

K の判別式は、 ε p p h − 1 ( h ( p − 1 ) − 1 ) {\displaystyle \textstyle \varepsilon p^{p^{h-1}(h(p-1)-1)}} である。但し、 ε = { − 1 ( p = h = 2 ,  or  p ≡ 3 ( mod 4 ) ) , + 1 ( p = 2 , h ≧ 3 ,  or  p ≡ 1 ( mod 4 ) ) . {\displaystyle \varepsilon ={\begin{cases}-1&(p=h=2,{\mbox{ or }}p\equiv 3{\pmod {4}}),\\+1&(p=2,\,h\geqq 3,{\mbox{ or }}p\equiv 1{\pmod {4}}).\end{cases}}}

(3) m = p 1 e 1 ⋯ p r e r {\displaystyle \textstyle m=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{r}^{e_{r}}} ( r ≧ 2 ,   p 1 , … ,   p r {\displaystyle \textstyle r\geqq 2,\ p_{1},\ldots ,\ p_{r}} は相異なる素数、 e 1 , … , e r ≧ 1 ) {\displaystyle \textstyle e_{1},\ldots ,e_{r}\geqq 1)} であるときには