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接線台形

円に外接する台形（えんにがいせつするだいけい）とは、ユークリッド幾何学において4つの辺がすべて台形内の円（内接円）に接する台形である。接線台形（せっせんだいけい、英: tangential trapezoid）または外接台形（がいせつだいけい、英: circumscribed trapezoid）とも呼ばれる。

少なくとも1組の対向する辺が平行である接線四辺形（英語版）の特殊なケースである。

他の台形と同様に、平行な辺を底辺、他の2辺を辺と呼ぶ。辺は等しいこともあるが（後述の#等脚接線台形参照）、等しくなる必要はない。
特殊な事例

接線台形の例としては、ひし形や正方形がある。
図形の性質

切円がWとYでそれぞれ辺ABとCDに接する場合、接線四辺形ABCDは次の場合に限り、辺ABとCDが平行な台形でもある[1]。

A W ¯ ⋅ D Y ¯ = B W ¯ ⋅ C Y ¯ {\displaystyle {\overline {AW}}\cdot {\overline {DY}}={\overline {BW}}\cdot {\overline {CY}}}

また、ADとBCが台形の平行な辺であるのは、以下の場合のみである。

A W ¯ ⋅ B W ¯ = C Y ¯ ⋅ D Y ¯ . {\displaystyle {\overline {AW}}\cdot {\overline {BW}}={\overline {CY}}\cdot {\overline {DY}}.}
面積

台形の面積の公式をピトーの定理を用いて簡略化すると、接線台形の面積の公式を得ることができる。底辺の長さがa,bで、他の2辺のうちいずれか1辺の長さがcであれば、面積Kは次式で与えられる（この式は底辺が平行の場合のみ使用可能）。

K = a + b 。 b − a 。 a b ( a − c ) ( c − b ) . {\displaystyle K={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}.}

面積は接線の長さe,f,g,hで次のように表すことができる

K = e f g h 4 ( e + f + g + h ) . {\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}
内接円の半径

面積と同じ表記を用いると、内接円の半径は、[2]

r = K a + b = a b ( a − c ) ( c − b ) 。 b − a 。 . {\displaystyle r={\frac {K}{a+b}}={\frac {\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}{|b-a|}}.}

内接円の直径は接線台形の高さに等しい。

半径は、接線の長さで次のように表すこともできる。

r = e f g h 4 . {\displaystyle r={\sqrt[{4}]{efgh}}.}

さらに、接線長e、f、g、hがそれぞれ頂点A、B、C、Dから延長し、ABがDCに平行である場合、次のようになる。

r = e h = f g . {\displaystyle r={\sqrt {eh}}={\sqrt {fg}}.}
円の特性

内接円がP,Qで底辺に接する場合、P,I,Qは共線であり、Iは内心である。底辺がABとDCの接線台形ABCDの角度∠AIDと∠BICは、直角である。また辺の中点を結ぶ線上にある。
その他の属性