線型代数学における計量ベクトル空間（けいりょうベクトルくうかん、英: metric vector space）は、内積と呼ばれる付加的な構造を備えたベクトル空間であり、内積空間（ないせきくうかん、英: inner product space）とも呼ばれる。この付加構造は、空間内の任意の二つのベクトルに対してベクトルの内積と呼ばれるスカラーを対応付ける。内積によって、ベクトルの長さや二つのベクトルの間の角度などの直観的な幾何学的概念に対する厳密な導入が可能になる。また内積が零になることを以ってベクトルの間の直交性に意味を持たせることもできる。内積空間は、内積として点乗積（スカラー積）を備えたユークリッド空間を任意の次元（無限次元でもよい）のベクトル空間に対して一般化するもので、特に無限次元のものは函数解析学において研究される。

内積はそれに付随するノルムを自然に導き、内積空間はノルム空間の構造を持つ。内積に付随するノルムの定める距離に関して完備となる空間はヒルベルト空間と呼ばれ、必ずしも完備でない内積空間は（内積の導くノルムに関する完備化がヒルベルト空間となるから）前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert space) と呼ばれる。複素数体上の内積空間はしばしばユニタリ空間 (unitary spaces) とも呼ばれる。
定義詳細は「内積」を参照

本項ではスカラーの体 F は実数体 R または複素数体 C の何れかを意味するものとする。

厳密に言えば、内積空間とは体 F 上のベクトル空間 V であって、内積と呼ばれる写像 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : V × V → F {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to F}

で以下の公理を満足するものを備えたものを言う[1][2]。

共軛対称性: ⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x ⟩ ¯ . {\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.}

第一引数に対する線型性: ⟨ a x + y , z ⟩ = a ⟨ x , z ⟩ + ⟨ y , z ⟩ . {\displaystyle \langle ax+y,z\rangle =a\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle .}

正定値性: ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , [ ⟨ x , x ⟩ = 0 ⟹ x = 0 ] {\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0,\quad [\langle x,x\rangle =0\implies x=0]}

F = R のときは共軛対称性（エルミート対称性）は単に対称性に帰着される。
注意

上記内積の定義において、係数体を実数体 R および複素数体 C に制限する必要があることにはいくつか理由がある。簡潔に述べれば、半正定値性が意味を持つために係数体は（内積の値域となる）適当な順序体を含む必要がある（従って、任意の順序体がそうであるように標数が 0 でなければならない）ことである（ここから直ちに有限体は除外される）。また、係数体は区別された自己同型 (distinguished automorphism) のような付加構造を持たなければならない。そういう意味では、より一般に R または C の二次閉部分体（任意の元が平方根を持つ体、例えば全代数的数体）を考えれば十分だが、（R でも C でもない）真の部分体を取ってしまうと、有限次元の内積空間でさえ完備距離空間にならない。これと対照的に、R または C 上の有限次元内積空間は自動的に完備となり、従ってヒルベルト空間になる。
性質

計量ベクトル空間では様々な定理が成立する。

コーシー＝シュワルツの不等式： ⟨ x , y ⟩ 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle ^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }

例

様々なベクトル空間に様々な内積が定義できる。「内積#例」も参照

最も単純な例として、実数全体の成すベクトル空間に通常の乗法によって内積 ⟨x, y⟩ := xy を定めたものは内積空間になる。

Cn の内積の一般形は、正定値エルミート行列 M を用いて ⟨ x , y ⟩ := y † M x = x † M y ¯ {\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle :=\mathbf {y} ^{\dagger }\mathbf {M} \mathbf {x} ={\overline {\mathbf {x} ^{\dagger }\mathbf {M} \mathbf {y} }}} の形で与えられ（y† は y の随伴行列）、エルミート形式と呼ばれる。実係数の場合は、（正のスケール因子と拡大方向に直交する方向を持つ）二つのベクトルをそれぞれ異なる方向に拡大変換したものを点乗積することに相当する。これは直交変換の違いを除けば、正の重みをもつ点乗積の重み付き和（英語版）版である。

ヒルベルト空間の項には、内積の導く距離が完備となるような内積空間のさまざまな例がある。完備でないような内積を持つ内積空間には、例えば閉区間 [a, b] 上の複素数値連続函数全体の成す空間 C([a, b]) が挙げられる。内積は ⟨ f , g ⟩ := ∫ a b f ( t ) g ( t ) ¯ d t {\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,dt} で与える。この空間が完備でないことは、たとえば閉区間 [?1, 1] 上で f k ( t ) = { 0 ( t ∈ [ − 1 , 0 ] ) 1 ( t ∈ [ 1 k , 1 ] ) k t ( t ∈ ( 0 , 1 k ) {\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&(t\in [-1,0])\\1&(t\in [{\tfrac {1}{k}},1])\\kt&(t\in (0,{\tfrac {1}{k}})\end{cases}}} で定義される階段函数列 {fk}k を考えれば、この列は内積の導くノルムに関してコーシー列を成すが、これは「連続」函数に収斂しないことを見ればよい。

実確率変数 X, Y に対して、それらの積の期待値 ⟨ X, Y⟩ := E(XY) は内積になる。この場合、⟨X, X⟩ = 0 なる必要十分条件は確率に関して Pr(X = 0) = 1 が成り立つ（即ち、X = 0 が殆ど確実（英語版）に成り立つ）ことである。この期待値を内積とする定義は確率ベクトル（英語版）に対しても同様に拡張することができる。

実平方行列に対し、⟨A, B⟩ := tr(AB?) に転置 ⟨ A , B ⟩ ¯ = ⟨ B ⊤ , A ⊤ ⟩ {\displaystyle {\overline {\langle A,B\rangle }}=\langle B^{\top },A^{\top }\rangle } を共軛変換と考えたものは、内積になる。

内積空間上のノルム

p ≠ 2 とするとき、ベクトル空間に ‖ x ‖ p = ( ∑ i = 1 ∞ 。 ξ i 。 p ) 1 / p ( x = { ξ i } ∈ ℓ p ) {\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\infty }|\xi _{i}|^{p}\right)^{1/p}\quad (x=\{\xi _{i}\}\in \ell ^{p})}

なるノルムをいれてノルム空間を得ることはできるが、中線定理（平行四辺形公式）を満たさないので内積空間にはならない（ノルムに付随する内積が存在するには中線定理が成り立たなければならない）[3][4]。

しかし内積空間ならば、内積から自然に定義され、中線定理を満足するノルム ‖ x ‖ = ⟨ x , x ⟩ {\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}