この記事には独自研究が含まれているおそれがあります。問題箇所を検証し出典を追加して、記事の改善にご協力ください。議論はノートを参照してください。(2019年9月)
この記事には、過剰に詳細な記述が含まれているおそれがあります。
百科事典に相応しくない内容の増大は歓迎されません。内容の整理をノートで検討しています。(2019年9月)
六進法(ろくしんほう、英: senary、独: Sechsersystem)とは、6 を底とし、底およびその冪を基準に数を表す方法である。英語名の"senary"は、ラテン語で「六個一組」を意味する"senarius"にちなむ。
記数法
整数
整数の表記サイコロの六つの面。
丸が六つある面が「10」となる。
小数も、0.1が六つ集まると「1」になる。
六進記数法とは、六を底とする位取り記数法である。慣用に従い、通常のアラビア数字は十進数で表記し、六進記数法の表記は括弧および下付の 6 で表す。六進記数法で表された数を六進数と呼ぶ。通常は、0, 1, 2, 3, 4, 5 の計 6 個の数字を用い、六を 10、七を 11、八を 12 …と表記する。
数列の進み方(四十まで)六進法012345101112131415202122232425303132
十進法01234567891011121314151617181920
十二進法0123456789AB101112131415161718
二十進法0123456789ABCDEFGHIJ10
六進法333435404142434445505152535455100101102103104 この節には独自研究が含まれているおそれがあります。問題箇所を検証し出典を追加して、記事の改善にご協力ください。議論はノートを参照してください。(2022年2月) 十進法と六進法は、「10が素数二つの積」「10?1が6未満の素数かその冪数」という同じ構造を持っており、2の冪数の扱いは同じになる。しかし、六進法では「5+1 = 10」「2×3 = 10」となるので、十進法と比べた時に、3と5の立場が逆転するだけではなく、9(=13(6)=32)と5の立場も逆転する。つまり、六進法では3とその冪数が優位に立ち、5とその冪数は劣位に落ちる。更に、2と3の冪指数が同じなので、2の冪数と3の冪数が同等の地位になる。 六進法でも、十進法と同じように倍数判定ができる。2と3の倍数が一目で判る上に、割り切れない5の倍数の判定も可能になる。十進法では 5n×3 と 5n×32 が判定可能なのに対して、六進法では 3n や 3n×5 が判定可能になる。また、2n と 2n×5 の倍数は、十進法では 5n 種類になるが、六進法では 3n 種類になる。 一の位で判定一の位が02と3で割り切れる(10(=6)の倍数) 下二桁で判定下二桁が004でも13(=9)でも割り切れる(100(=36(10))の倍数) 個別の倍数判定も、以下のようになる。素因数分解を左に【】で示す。
十進法2122232425262728293031323334353637383940
十二進法191A1B202122232425262728292A2B3031323334
二十進法1112131415161718191A1B1C1D1E1F1G1H1I1J20
倍数判定と素数
3と5が逆転する例
六進法では、3の倍数は一の位が3か0のどれかになる。一の位が3ならば3の倍数であり、素数にはならない。
六進法では、11(七)以後の素数は、一の位が1か5のどれかである。
11(七)から100(三十六)までの素数:11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51
101(三十七)から300(百八)までの素数:101,105,111,115,125,135,141,151,155,201,211,215,225,241,245,251,255
十進法では1/5が0.2(つまり十分の二)だが、六進法では1/3が0.2(つまり六分の二)になる。同じく、六進法では、2の冪数の逆数は3の冪数になり、3の冪数の逆数は2の冪数になる。
例として、冪指数が3だと、23 = 12、33 = 43、2-3 = 0.043、3-3 = 0.012 となる。
「3×5」の数は、十進法では「15」「十五」となり5の倍数の仲間だが、六進法では「23」「二六三」となり3の倍数の仲間になる。
.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}3×5/100の小数は、十進法では0.15、六進法では0.23となるが、既約分数が十進法では「二十分の三」「素因数分解すると3/22×5」になるが、六進法では「二六分の五」「素因数分解すると5/22×3」になる。仲間になる冪数も、十進数0.15は25 (=52)だけに対して、六進数0.23は13 (=32)と43 (=33)の計二つになる。
小数に変えると37(10) = 101(6)の倍数が循環する無限小数になる単位分数は、十進法が1/3、1/32 (= 1/9)、1/33 (= 1/27(10)) に対して、六進法では 1/5 や 1/11(6) (= 1/7) になる。
例:2/5 = 0.2222…(2222 = 518(10))、4/11 = 0.3232…(3232 = 740(10))
六進数では、5p ÷ 3p(pは同じ冪指数)の小数点を消した値は、十の冪数になる。
例:52÷32 = 41÷13 = 2.44(244(6)=100(10))
例:53÷33 = 325÷43 = 4.344(4344(6)=1000(10))
9と5が逆転する例
乗算表は「九九・八十一」ではなく「五五・四六一」という呼び方になるが、五の段は「一の位」と「六の位」の和が5になる。また、5の倍数は、各位の数の和も5の倍数になる。
例:2521(= 625(10))→ 2+5+2+1 = 14 → 1+4 = 5
例:4344(= 1000(10))→ 4+3+4+4 = 23 → 2+3 = 5
401や4001など、「4×6n + 1」となる整数は、5の倍数になる。例えば、401は十進法の145であり、4001は十進法の865である。
3の冪数は一の位も3になる。「100の1/4」と「100の3/4」は両方とも3の冪数になる上に、「100のm/4」となる整数は全て9の倍数である。1/9(10) (= 1/13(6))も0.04で、「100のm/9」となる整数は全て4の倍数である。
100×(1/4) = 13 = 32 = 9(10)
100×(2/4) = 30 = 32×2 = 18(10)
100×(3/4) = 43 = 33 = 27(10)
100 = 32×22 = 36(10)
十進法では乗算表が81(10)(34=81)種類になるが、六進法では16(10)(24=24)の倍数が81(10)(34=213)種類になる。同じく、81(10)(213)の倍数も16(10)(24)種類になる。
倍数表を乗算表に例えると、十進乗算表での9倍=13(6)倍の欄には、144(10)(400)の倍数が来る。
例:「4×5 = 20」→「24×52 = 2212」。「7×9 = 63」→「24×143 = 4400」。「8×1 = 8」→「24×144 = 4424」。「9×9 = 81」→「24×213 = 10000」。
81(10)(213)の倍数のうち奇数は、下四桁が 0213, 1043, 1513, 2343, 3213, 4043, 4513, 5343 のどれかになる。
例:13213 = 2025(10) → 213×41 = (81×25)(10)
例:101043 = 8019(10) → 213×243 = (81×99)(10)
倍数判定法
一の位が1か52でも3でも割り切れない
一の位が2か42で割り切れるが、3で割り切れない
一の位が32で割り切れないが、3で割り切れる
下二桁が 04,12,20,24,32,40,44,52,00 のどれか4の倍数(複偶数)
下二桁が 02,10,14,22,30,34,42,50,54 のどれか2で割り切れるが、4では割り切れない(単偶数)
下二桁が 13,30,43,00 のどれか13(=9)の倍数
一の位が 03,10,20,23,33,40,50,53 のどれか3で割り切れるが、13(=9)では割り切れない
基本的な倍数判定
【2】2:一の位が2か4か0
【3】3:一の位が3か0
【22】4:下二桁が{04,12,20,24,32,40,44,52,00}のどれか。計9 (= 32) 種類。
【5】5:各位の数字和が5の倍数
【2×3】10(=6(10)):一の位が0
【32】13(=9(10)):下二桁が{13,30,43,00}のどれか。計4 (= 22) 種類。
【2×5】14(=10(10)):各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が 2か4か0。
【3×5】23(=15(10)):各位の数字和が5の倍数、かつ一の位が 3か0 。
【22×32】100(=36(10)):下二桁が00 。
その他の主要な数
【11】11(=7(10)):二桁のゾロ目、あるいは二桁ゾロ目に0がいくつも付く。{例:220(=84(10))、3311(=763(10))}