公理的集合論 - 暇つぶしWikipedia

公理的集合論

公理的集合論（こうりてきしゅうごうろん、axiomatic set theory）とは、公理化された集合論のことである。
集合の公理系
 ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF公理系）「ツェルメロ＝フレンケル集合論」も参照

現在一般的に使われている集合の公理系はZF (ツェルメロ=フレンケル) 公理系、またはZF公理系に下で述べる選択公理（Axiom of Choice）を加えた ZFC公理系（Zermelo-Fraenkel set-theory with the axiom of Choice）である。ZC, ZでそれぞれZFCおよびZFから置換公理を除いたもの、Z-, ZF-, ZC-, ZFC- で各体系から正則性公理を除いたものを表す。キューネンは『The Foundations of Mathematics』で「初等数学のほとんどはZC-での中でなされる」と述べている [1]。
基本的なZFの公理

 外延性の公理　A と B が全く同じ要素を持つのなら A と B は等しい：
∀ A ∀ B ( ∀ x ( x ∈ A ↔ x ∈ B ) → A = B ) {\displaystyle \forall A\forall B(\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)\rightarrow A=B)} 。

空集合の公理　要素を持たない集合が存在する：
∃ A ∀ x ( x ∉ A ) {\displaystyle \exists A\forall x(x\notin A)} 。外延性の公理から、空集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを空集合と呼び、 ∅ {\displaystyle \varnothing } で表す。

対の公理　任意の要素 x, y に対して、x と y のみを要素とする集合が存在する：
∀ x ∀ y ∃ A ∀ t ( t ∈ A ↔ ( t = x ∨ t = y ) ) {\displaystyle \forall x\forall y\exists A\forall t(t\in A\leftrightarrow (t=x\vee t=y))} 。外延性の公理から、x と y に対して対の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを { x , y } {\displaystyle \{x,y\}\,} で表す。 { x , x } {\displaystyle \{x,x\}\,} を { x } {\displaystyle \{x\}\,} で表す。これにより順序対の存在が言え、それにより直積集合の存在も言える。

和集合の公理　任意の集合 X に対して、X の要素の要素全体からなる集合が存在する：
∀ X ∃ A ∀ t ( t ∈ A ↔ ∃ x ∈ X ( t ∈ x ) ) {\displaystyle \forall X\exists A\forall t(t\in A\leftrightarrow \exists x\in X(t\in x))} 。外延性の公理から、X に対して和集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを X の和集合と呼び、 ⋃ X {\displaystyle \bigcup X} で表す。 ⋃ { x , y } {\displaystyle \bigcup \{x,y\}} を x ∪ y {\displaystyle x\cup y} で表す。

無限公理　空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃ A ( ∅ ∈ A ∧ ∀ x ∈ A ( x ∪ { x } ∈ A ) ) {\displaystyle \exists A(\varnothing \in A\wedge \forall x\in A(x\cup \{x\}\in A))} 。

冪集合公理　任意の集合 X に対して X の部分集合全体の集合が存在する：
∀ X ∃ A ∀ t ( t ∈ A ↔ t ⊆ X ) {\displaystyle \forall X\exists A\forall t(t\in A\leftrightarrow t\subseteq X)} 。外延性の公理から、X に対して冪集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを X の冪集合と呼び、 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} または2xで表す。

置換公理　"関数クラス"による集合の像は集合である：
∀ x ∀ y ∀ z ( ( ψ ( x , y ) ∧ ψ ( x , z ) ) → y = z ) → ∀ X ∃ A ∀ y ( y ∈ A ↔ ∃ x ∈ X ψ ( x , y ) ) {\displaystyle \forall x\forall y\forall z((\psi (x,y)\wedge \psi (x,z))\rightarrow y=z)\rightarrow \forall X\exists A\forall y(y\in A\leftrightarrow \exists x\in X\psi (x,y))} 。この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。

正則性公理（基礎の公理）　空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ：
∀ A ( A ≠ ∅ → ∃ x ∈ A ∀ t ∈ A ( t ∉ x ) ) {\displaystyle \forall A(A\neq \varnothing \rightarrow \exists x\in A\forall t\in A(t\notin x))} 。正則性公理はジョン・フォン・ノイマンによって導入された（1925年）。
選択公理詳細は「選択公理」を参照

選択公理　X が互いに交わらないような空でない集合の集合であるとき、X の各要素から一つずつ要素をとってきたような集合（選択集合）が存在する：
∀ X ( ( ∅ ∉ X ∧ ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X ( x ≠ y → x ∩ y = ∅ ) ) → ∃ A ∀ x ∈ X ∃ t ( x ∩ A = { t } ) ) {\displaystyle \forall X((\varnothing \notin X\wedge \forall x\in X\forall y\in X(x\neq y\rightarrow x\cap y=\varnothing ))\rightarrow \exists A\forall x\in X\exists t(x\cap A=\{t\}))} 。選択公理と同値であることが ZF において証明できる命題として、整列定理やツォルンの補題などがある。
分出公理

置換公理はフレンケルによって次の分出公理の代わりにおかれたものである（1922年）。分出公理はZFの公理から示すことができる。

分出公理　任意の集合 X と A を自由変数として使用しない論理式 ψ(x) に対して、X の要素 x で ψ(x) をみたすような x 全体の集合が存在する：
∀ X ∃ A ∀ x ( x ∈ A ↔ ( x ∈ X ∧ ψ ( x ) ) ) {\displaystyle \forall X\exists A\forall x(x\in A\leftrightarrow (x\in X\wedge \psi (x)))} 。この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。論理式 ψ を決めたとき、X に対して分出公理が存在を主張する集合はただ一つであることが外延性の公理から言えるので、これを { x ∈ X ∣ ψ ( x ) } {\displaystyle \{x\in X\mid \psi (x)\}} で表す。 { x ∈ X ∣ x ∈ Y } {\displaystyle \{x\in X\mid x\in Y\}} を X ∩ Y {\displaystyle X\cap Y} で表す。

分出公理を公理として採用する場合にはXを任意に選んだ集合、 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} を恒偽式 ( x ≠ x ) {\displaystyle (x\neq x)} としてとして分出公理を適用することにより空集合の存在が導かれる。
追加の公理

この節の加筆が望まれています。（2022年8月）
詳細は「連続体仮説」を参照
 マーティンの公理

この節の加筆が望まれています。（2022年8月）
詳細は「マーティンの公理」を参照
 グロタンディーク宇宙の存在公理

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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