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数学において、写像が全射的（ぜんしゃてき、英: surjective, onto）であるとは、その終域となる集合の元はどれもその写像の像として得られることを言う。即ち、集合 X から集合 Y への写像 f について、Y の各元 y に対し f(x) = y となるような X の元 x が（一般には複数あってもよいが）対応させられるとき、写像 f は全射 (surjection, onto mapping/function) であるという。全写（あるいは全写像）とも書く。域 X（赤）から余域 Y（青+黄）への写像 f の模式図（余域 Y の内側の小さい楕円（黄）は f の値域）。これは一般には全射を表していない（一つも青に塗られる点がないときのみ全射）。

全射（および単射、双射）の語は20世紀フランスの数学結社ブルバキ（1935年以降『数学原論』シリーズを刊行している）により導入されたものである。接頭辞 sur- はフランス語で「上の」を意味し、写像の始域が終域全体をすっぽり覆い尽くすように写し込まれるイメージを反映したものになっている。sur, in, bi, jection いずれもラテン語源である。
定義

写像 f: A → B について、f の値域 f(A) ? {f(a)  |  a ∈ A} が終域（余域）B を含む（つまり B ⊆ f(A)）ならば、写像 f: A → B は 全射 (surjection) であるという。f は余域 B への全射的 (surjective) な写像である、B の上への (onto) 写像であるなどともいう[注釈 1]。記号で書けば、f: A → B が全射であるとは ∀b ∈ B, ∃a ∈ A, f(a) = b を満足することである。このとき、しばしば鏃が二つの矢印を使って f : A ↠ B {\displaystyle f\colon A\twoheadrightarrow B} と表す。

全射であり単射でない

単射であり全射でない

全単射

全射でも単射でもない

例

実数 x に対し、その自乗 x2 を対応させる非負実数値写像 f : R ∋ x ↦ x 2 ∈ R + {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \ni x\mapsto x^{2}\in \mathbb {R} _{+}} は全射である。ただし R+ で非負実数全体の集合を表している。実際、x ≥ 0 に対し、その非負平方根 √x をとれば、f(√x) = x とすることができる（負の平方根 −√x をとっても構わない）。終域を変更して、単に実関数 f : R ∋ x ↦ x 2 ∈ R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \ni x\mapsto x^{2}\in \mathbb {R} } と考えたのでは全射にはならない。自乗して負になる実数は存在しないからである。

任意の集合 X において、X 上の恒等変換 id X : X ∋ x ↦ x ∈ X {\displaystyle {\text{id}}_{X}\colon X\ni x\mapsto x\in X} は全射（実は双射）である。

デカルト積 A × B の各成分への射影 p A : A × B ∋ ( a , b ) ↦ a ∈ A ,   p B : A × B ∋ ( a , b ) ↦ b ∈ B {\displaystyle p_{A}\colon A\times B\ni (a,b)\mapsto a\in A,\ p_{B}\colon A\times B\ni (a,b)\mapsto b\in B} は全射である。

実2次多項式全体 R 2 [ x ] := { a x 2 + b x + c   ;   ( a , b , c ) ∈ ( R ∖ { 0 } ) × R × R } {\displaystyle \mathbb {R} _{2}[x]:=\{ax^{2}+bx+c\ ;\ (a,b,c)\in (\mathbb {R} \setminus \{0\})\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \}} から R {\displaystyle \mathbb {R} } への写像 D を D ( a x 2 + b x + c ) := b 2 − 4 a c {\displaystyle D(ax^{2}+bx+c):=b^{2}-4ac} と定義すると、D は全射である（任意の r ∈ R {\displaystyle r\in \mathbb {R} } に対して、例えば x 2 − r / 4 ↦ r {\displaystyle x^{2}-r/4\mapsto r} である）。

正の整数 n に対し、 det : M n ( R ) ∋ A ↦ det A ∈ R {\displaystyle \det \colon M_{n}(\mathbb {R} )\ni A\mapsto \det A\in \mathbb {R} } は全射である（ここで M n ( R ) {\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )} は実 n 次正方行列全体であり， det A {\displaystyle \det A} は行列式を表す）．実際，任意の実数 r に対して、対角行列 diag(r, 1, …, 1) の行列式は r である。