数学において、数 a の倍数（ばいすう、英:multiple）とは、a を整数倍した数、あるいはそれらの総称である。つまり、… −3a, −2a , −a, 0, a, 2a, 3a, …
を指す。a ≠ 0 ならば、a の倍数は無数に存在する。
a を整数に限ると、a の倍数とは「a で割り切れる整数」のことであり、a の約数（「a を割り切る整数」）と対比されることも多いが、倍数は a が整数でなくても定義できる。
倍数の中で 0 以外は符号の違いだけの組が現れるので、0, ±a, ±2a, ±3a, …
と表すこともある。とくに a が正の整数で負の数を考えない、あるいは本質的でない場合は（正の）倍数としてa, 2a, 3a, …
だけを考えることも多い。
整数全体からなる集合 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } を用いると、a の倍数は a Z {\displaystyle a\mathbb {Z} } である。 整数の倍数 整除性の判定法[1]（せいじょせいのはんていほう, 英: divisibility rule, 仏: critere de divisibilite, 露: признаки делимости, 中: 整除??）は、ある整数を別の整数で割った商が整数となるか（余りがゼロであるか）を、割り算を直接実行することなく判別する裏技である。倍数の判定法ともいう[2]。 様々なN進法における倍数判定の方法として、以下の方法が挙げられる。 素因数が複数になる場合には、上記の倍数判定方法を組み合わせることになる。 とりわけ、六進数と十進数では、素因数に2, 3, 5が含まれる倍数の判定が容易である。これは、六進数では10 = 2×3 = 5+1 となり、十進数では 10 = 2×5 = 32+1 となり、"10"の素因数と"10-1"の素因数に2, 3, 5のどれかが含まれているからである（その上に10の素因数も複数ある）。例えば、23×32×5 = 1400(6) = 360(10)の倍数も、六進数だと「下三桁が200, 400, 000のどれかで、各桁の和が5の倍数」で計3種類（1400, 3200, 5000, 10400…）、十進数だと「一の位が0、整数第二位?第三位で4の倍数が現れ、各桁の和が9の倍数」で計2510種類（360, 720, 1080, 1440,1800,2160,2520…）となる。 十進数での倍数判定法がいくつか存在する。 1 - 9割る数
例
番号001020304050607080910
01の倍数001020304050607080910
02の倍数002040608101214161820
03の倍数003060912151821242730
04の倍数004081216202428323640
05の倍数005101520253035404550
06の倍数006121824303642485460
07の倍数007142128354249566370
08の倍数008162432404856647280
09の倍数009182736455463728190
10の倍数0102030405060708090100
2 の倍数は 0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12, ±14, ±16, ±18, ±20, …
偶数に等しい。
3 の倍数は 0, ±3, ±6, ±9, ±12, …
12 は 1, 2, 3, 4, 6, 12 のいずれの倍数でもある。
12 の正の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 であることによる。
「九九」も参照
数学的性質
整数に関する性質
0 だけ倍数の個数が有限（0 のみ）である。（したがって 0 の倍数を考えることはあまり意味がない）
0 は全ての数の倍数である。
全ての数は自分自身の倍数である。
全ての整数は 1 と −1 の倍数である。
偶数とは 2 の倍数のことである。偶数は「2つの等しい整数の和で表せる数」とも定義できるが、この定義は 2 の倍数であることと同値である。
a が整数のとき、N が a の倍数であることは、a が N の約数であることと同じ意味である。
整数 a, b に対して、b が a で割り切れることと、b の倍数が a の倍数に含まれることは同値である。すなわち、
a ∣ b ⇔ b Z ⊂ a Z {\displaystyle a\mid b\Leftrightarrow b\mathbb {Z} \subset a\mathbb {Z} }
2 以上の整数はある素数の倍数である。
素数の倍数全体は、±1 以外の整数全体に等しい。
（→素数が無数に存在することの証明#フュルステンベルグ）
a の倍数かつ b の倍数であるものを a と b の公倍数という（3個以上の場合でも同様）。ab は a と b の公倍数である。公倍数のうち最小の正の数を最小公倍数という。
a と b の公倍数は a と b の最小公倍数の倍数である。
a の倍数の倍数は a の倍数である。
P, Q が 共に a の倍数ならば、kP + lQ（k, l は整数）は共に a の倍数である。
特に、P ± Q は a の倍数である
有理整数環 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } で二項関係を x − y ∈ a Z {\displaystyle x-y\in a\mathbb {Z} } で定義すると、これは同値関係になる。
その商集合 Z / a Z {\displaystyle \mathbb {Z} /a\mathbb {Z} } は加法に関するアーベル群である。（→同値関係#商集合の例）
整除性の判定法
一の位の数で判定
一の位がMであればMの倍数、という方法。
各桁の和（数字和）で判定
一桁の最後の数（10-1）の倍数は、各桁の和が10-1に収まれば10-1の倍数、という方法。六進数での5の倍数、九進数での（2、4、）8の倍数、十進数での（3、）9の倍数、十六進数での（3、5、）15の倍数、二十五進数の（2、3、4、6、8、12）24の倍数など。
下P桁で判定
下二桁がabであればMの倍数、下三桁がabcであればMの倍数…、という方法。
11が合成数の場合
11となる数が合成数の場合、二桁数abがあれば a-b または b-a の差が11の約数Mになっている場合に、Mの倍数となる、という方法。例：八進数での9（= 118）の倍数（32 = 11）、二十進数での3の倍数と7の倍数（3×7 = 11）、三十二進数での3の倍数と11の倍数（33 = 11）など。
一の位をa倍
乗算表の二桁数abから逆算して、一の位bをa倍する方法。十進数における7の倍数（7×3 = 21）、十二進数における5の倍数（5×5 = 21）、十六進数における11の倍数（3×B ＝ 21）、四十進数における33 の倍数（3×3×3×3 ＝ 21）など。乗算表の最後の数｛(10-1)2 = a1｝の場合は、一の位をa倍して、「整数第二位以上」と「一の位をa倍」の差をa1で割って余りが0になればa1の倍数、という方法。十進数での34 = 81の倍数など。
「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算
「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算し、その和をMで割って余りが0ならばMの倍数、という方法。六進数での15（1110）の倍数、十進数での35 = 243 の倍数など。
十進数での例
M整除性の判定法（倍数の判定法）具体例・備考Mの倍数 一覧
000(OEIS)000
1任意の整数は1で割り切れる
2最後の桁が偶数（0、2、4、6、8）ならば2で割り切れる1294：最後の桁4は偶数である。割り算を実行してみれば分かるが、1294は2で割り切れる[3]The nonnegative
even numbers:
a(n) = 2n.
(A005843)
3各桁の数を合計したものが3で割り切れれば、3で割り切れる405の場合、4+0+5=9、これは3で割り切れるから405は3で割り切れる[3]a(n) = 3*n.
(A008585)
各桁に現れる1, 4, 7の数を数える。次に各桁に現れる2, 5, 8の数を数える。両者の差が0ならば3で割り切れる16,499,205,854,376：1, 4, 7は合計4回現れる。2, 5, 8は合計4回現れる。4-4= 0、∴3で割り切れる
4最後の2桁が4で割り切れれば4の倍数である40,832：最後の2桁である32が4で割り切れる[3]Multiples of 4.
(A008586)
10の位が偶数の場合、1の位が0, 4, 8
10の位が奇数の場合、1の位が2, 6ならば4の倍数である40,832：10の位の3は奇数で、1の位が2である
10の位に2を掛け、それに1の位を加える。それが4で割り切れればもとの数は4の倍数である40832：2×3 + 2 = 8、これは4で割り切れるから40832は4の倍数
51の位が0または5[3]Multiples of 5:
a(n) = 5 * n.
(A008587)