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出典検索?: "作用素" 関数解析学
数学における作用素(さようそ、英: operator)は、しばしば写像、函数、変換などの一般化として用いられる[1]。函数解析学においては主にヒルベルト空間やバナッハ空間上の(必ずしも写像でない部分写像の意味での)線型変換を単に作用素と呼ぶ。そのような空間として特に函数空間と呼ばれる函数の成す無限次元線型空間は典型的であり(同じものを物理学の分野、特に量子力学などでは演算子(えんざんし)と呼ぶ)、このとき、作用素を関数を別の関数にうつす写像として理解することができる。定義されているベクトル空間の係数体に値をとる作用素は汎函数(はんかんすう、functional)と呼ばれる。
また、群や環が空間に作用しているとき、群や環の各元が定める空間上の変換、あるいはその変換が引き起こす関数空間上の変換のことを作用素ということがある。 U, V を共通の係数体 K をもつ線型空間とする。このとき U から V への部分写像、すなわち部分集合 D ⊆ U 上で定義された V への写像 T を D 上の作用素という[2]。単に U から V への作用素とも呼ぶ。部分集合 D は定義域、部分集合 R = { T x ∣ x ∈ D } {\displaystyle R=\{\,Tx\mid x\in D\,\}} は値域と呼ばれ、それぞれ D(T) = D, R(T) = R と表す。 作用素 T が定義域 D(T) 上で単射ならば逆写像 T−1 は R(T) 上の作用素であり、逆作用素と呼ばれる。 U から V への作用素 S, T は定義域が等しく、定義域上で写像として等しいときに等しいといい、S = T と表す。 U から V への作用素 S, T の α ∈ K によるスカラー倍、和、積は以下のように定義される。 汎函数はベクトル空間からその係数体への作用素である。汎函数は超函数論や変分法に重要な応用を持ち、これらの分野は理論物理学において重要である。 もっともありふれた作用素の種類は線型作用素である。体 K 上の線型空間 U, V に対し、作用素 T: U → V が線型であるとは、定義域 D(T) が U の線型部分空間であり、任意の x, y ∈ D(T) および任意の α, β ∈ K に対して T ( α x + β y ) = α T x + β T y {\displaystyle T(\alpha x+\beta y)=\alpha Tx+\beta Ty} が満たされることを言う[3]。 線型作用素の重要性として、それがベクトル空間の間の射となることを挙げよう。 有限次元の場合には線型作用素は以下のように行列として表現することができる。体 K 上のベクトル空間 U および V について、それぞれの基底 u1, …, un ∈ U および v1, …, vm ∈ V を選んで固定する。(アインシュタインの和の規約によって)任意のベクトル x = xiui ∈ U を取るとき、線型作用素 T: U → V に対して T x = x i T u i = x i ( T u i ) j v j {\displaystyle Tx=x^{i}Tu_{i}=x^{i}(Tu_{i})^{j}v_{j}} が成り立ち、このとき aj
定義
( α T ) x := α ( T x ) x ∈ D ( α T ) := D ( T ) {\displaystyle (\alpha T)x:=\alpha (Tx)\qquad x\in D(\alpha T):=D(T)}
( S + T ) x := S x + T x x ∈ D ( S + T ) := D ( S ) ∩ D ( T ) {\displaystyle (S+T)x:=Sx+Tx\qquad x\in D(S+T):=D(S)\cap D(T)}
( S T ) x := S ( T x ) x ∈ D ( S T ) := { y ∈ D ( T ) ∣ T y ∈ D ( S ) } {\displaystyle (ST)x:=S(Tx)\qquad x\in D(ST):=\{\,y\in D(T)\mid Ty\in D(S)\,\}}
作用素のクラス
汎函数詳細は「汎函数」を参照
線型作用素