作用・角変数 (さよう・かくへんすう, action-angle variable) とは、解析力学において可積分な正準力学系に対して導入される、作用変数と角変数の組からなる正準変数のこと。
定義
可積分系

n {\displaystyle n} 自由度の自励正準力学系がLiouvilleの意味で可積分であるとは、 n {\displaystyle n} 個の関数的に独立[注釈 1]な孤立積分 F i {\displaystyle F_{i}} ( i = 1 , 2 , ⋯ , n {\displaystyle i=1,2,\cdots ,n} ) が存在し、互いにPoisson可換であること、すなわち [ F i , F j ] = 0 {\displaystyle \left[F_{i},F_{j}\right]=0}

を満足することである[1][2]。このとき、リウヴィル＝アーノルドの定理は、各積分 F i {\displaystyle F_{i}} が値 f i {\displaystyle f_{i}} を取る超曲面 ⋂ i = 1 n F i − 1 ( f i ) {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}F_{i}^{-1}(f_{i})} が連結かつコンパクトであるならば、この曲面はトーラス T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} と同相であること（Arnoldトーラスと呼ばれる）、そしてArnoldトーラスを含む近傍で定義された正準変数 ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} が存在しハミルトニアン H {\displaystyle H} が J {\displaystyle \mathbf {J} } だけの関数になることを主張する[1][3]。この定理により保証される正準変数 ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} が作用・角変数である[1][3]。
変数分離系

変数分離可能 (separable) な系に関しては、作用・角変数をより明示的に導入することができる。このような系では、適切な正準変数 ( p , q ) {\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )} を用いると、ハミルトンの特性関数 S ( q , α ) {\displaystyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }})} を S = S 1 ( q 1 , α ) + S 2 ( q 2 , α ) + ⋯ + S n ( q n , α ) {\displaystyle S=S_{1}(q_{1},\mathbf {\alpha } )+S_{2}(q_{2},{\boldsymbol {\alpha }})+\cdots +S_{n}(q_{n},{\boldsymbol {\alpha }})} という形に書くことができる[4]。積分定数 α = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})} の値が特定されると、各座標 q i {\displaystyle q_{i}} が周期運動をするならば、その運動のパターンは次の二通りが可能である[5][6]。

ある有界な範囲を周期的に運動する秤動 (libration)

運動量が座標の周期関数となる回転 (rotaion)

このとき、定数 α {\displaystyle \mathbf {\alpha } } により定まる解軌道に沿った一周期に関する次の積分 J i := 1 2 π ∮ p i d q i = 1 2 π ∮ ∂ S i ∂ q i ( q i , α ) d q i {\displaystyle J_{i}:={\frac {1}{2\pi }}\oint p_{i}\,dq_{i}={\frac {1}{2\pi }}\oint {\frac {\partial S_{i}}{\partial q_{i}}}(q_{i},{\boldsymbol {\alpha }})dq_{i}}

により作用変数 (action variable) J i = J i ( α ) {\displaystyle J_{i}=J_{i}({\boldsymbol {\alpha }})} が定義できる[7][8][9][10][注釈 2]。この定義のもとでハミルトンの特性関数は S = S ( q , J ) {\displaystyle S=S(\mathbf {q} ,\mathbf {J} )} という関数に読み替えることができ、この特性関数を母関数とする正準変換 ( p , q ) ↦ ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\mapsto (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} により角変数 (angle variable) θ i := ∂ S ∂ J i {\displaystyle \theta _{i}:={\frac {\partial S}{\partial J_{i}}}}

が導入される[7][8][11]。角変数 θ i {\displaystyle \theta _{i}} は運動の一周期の間に 2 π {\displaystyle 2\pi } 変化する[9][11]。
性質
Kronecker軌道

作用・角変数 ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} を用いるとき、系のハミルトニアンは H = H ( J ) {\displaystyle H=H(\mathbf {J} )} であるため、正準方程式は d J i d t = − ∂ H ∂ θ i = 0 ,     d θ i d t = ∂ H ∂ J i =: ω i ( J ) {\displaystyle {\frac {dJ_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \theta _{i}}}=0,\ \ {\frac {d\theta _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial J_{i}}}=:\omega _{i}(\mathbf {J} )}

となる。従ってその解はただちに J i = C o n s t . ,     θ i = ω i ( J ) t + β i {\displaystyle J_{i}=\mathrm {Const.} ,\ \ \theta _{i}=\omega _{i}(\mathbf {J} )t+\beta _{i}}

と求まる ( β i {\displaystyle \beta _{i}} は定数)。従って ω i = ∂ H ∂ J i {\displaystyle \omega _{i}={\frac {\partial H}{\partial J_{i}}}} は運動の角振動数である。この解がArnoldトーラス上に描く軌道をKronecker軌道と呼ぶ[3]。