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余代数（よだいすう、英語: coalgebra）とは、単位元を持つ結合代数に対して、圏の双対をとったものをいう。
定義

K {\displaystyle K} を体、 C {\displaystyle C} を K {\displaystyle K} 上のベクトル空間とする。2つの線型写像 Δ : C → C ⊗ C {\displaystyle \Delta :C\to C\otimes C} 、 ε : C → K {\displaystyle \varepsilon :C\to K} が存在して、これらが
( i d ⊗ Δ ) ∘ Δ = ( Δ ⊗ i d ) ∘ Δ {\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad } （余結合律）、

( i d ⊗ ε ) ∘ Δ = i d = ( ε ⊗ i d ) ∘ Δ {\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad } （余単位律）

を満たすとき、即ち図式

が可換であるとき、組 ( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} を余代数という。また、 Δ {\displaystyle \Delta } を余積、 ε {\displaystyle \varepsilon } を余単位という。
諸概念
余代数射

( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} 、 ( D , Δ ′ , ε ′ ) {\displaystyle (D,\Delta ',\varepsilon ')} を K {\displaystyle K} -余代数とする。 K {\displaystyle K} -線型写像 f : C → D {\displaystyle f:C\to D} が Δ ′ ∘ f = ( f ⊗ f ) ∘ Δ , {\displaystyle \Delta '\circ f=(f\otimes f)\circ \Delta ,} ε ′ ∘ f = ε {\displaystyle \varepsilon '\circ f=\varepsilon }

を満たすとき f {\displaystyle f} を余代数射（coalgebra morphism）という。これは以下の図式が可換であることと同値:
部分余代数

( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} を余代数、 D ⊂ C {\displaystyle D\subset C} とする。 D {\displaystyle D} が部分余代数であるとは、 Δ ( D ) ⊆ D ⊗ D {\displaystyle \Delta (D)\subseteq D\otimes D} を満たすことをいう。このとき、 ( D , Δ 。 D , ε 。 D ) {\displaystyle (D,\Delta |_{D},\varepsilon |_{D})} は余代数の構造を持つ。
余イデアル

I {\displaystyle I} を余代数 ( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} の部分ベクトル空間とする。 I {\displaystyle I} が余イデアル（coideal）であるとは Δ ( I ) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I , {\displaystyle \Delta (I)\subseteq I\otimes C+C\otimes I,} ε ( I ) = 0 {\displaystyle \varepsilon (I)=0}

を満たすことをいう。このとき商 C / I {\displaystyle C/I} は余代数の構造を持つ。
余可換余代数と逆余代数

写像 t w {\displaystyle \mathrm {tw} } を t w : C ⊗ C → C ⊗ C , c ⊗ c ′ ↦ c ′ ⊗ c {\displaystyle \mathrm {tw} :C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\otimes c'\mapsto c'\otimes c} で定める。余代数 ( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} が余可換であるとは、 t w ∘ Δ = Δ {\displaystyle \mathrm {tw} \circ \Delta =\Delta } が成り立つことをいう。ここで新しい余積を Δ t w = t w ∘ Δ : C → C ⊗ C → C ⊗ C , c ↦ ∑ i c i ( 2 ) ⊗ c i ( 1 ) {\displaystyle \Delta _{\mathrm {tw} }=\mathrm {tw} \circ \Delta :C\to C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\mapsto \sum _{i}c_{i}^{(2)}\otimes c_{i}^{(1)}} によって定めると、 ( C , Δ t w , ε ) {\displaystyle (C,\Delta _{\mathrm {tw} },\varepsilon )} は余代数になりこれを逆余代数という。