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体積積分(たいせきせきぶん、英: volume integral)とは、数学、特に多変数解析における用語で、3次元領域上の積分を指す。すなわち、多重積分の特殊な例である。積分の記号として?が用いられる。体積積分は特に物理学において多くの応用がなされており、例えば流束密度を求めることに利用される。 体積積分は直交座標系における関数 f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} を領域 D ⊂ R 3 {\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}} で三重積分することと見なせるから、一般には以下のように表せる。 ∭ D f ( x , y , z ) d x d y d z . {\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.} また円筒座標系では、以下のようになる。 ∭ D f ( ρ , φ , z ) ρ d ρ d φ d z . {\displaystyle \iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.} 球面座標系(ISOの表記法に従い、 φ {\displaystyle \varphi } を方位角、 θ {\displaystyle \theta } を極角 3変数関数 f ( x , y , z ) = 1 {\displaystyle f(x,y,z)=1} を単位立方体
座標系ごとの表示
例
単位立方体の体積が1であるという予想通りの結果が得られる。これは自明な例だが、体積積分ははるかに有用である。例えば、単位立方体の密度分布を表すスカラー密度関数を体積積分することにより、その単位立方体の質量を得ることができる。ここでは以下の密度関数を考える。 { f : R 3 → R f : ( x , y , z ) ↦ x + y + z {\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}}
このような密度関数を持つ単位立方体の質量は以下で得られる。 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x + y + z ) d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 1 2 + y + z ) d y d z = ∫ 0 1 ( 1 + z ) d z = 3 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}}
注釈
関連項目.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}ポータル 数学
発散定理
面積分
体積要素
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