佐久間=服部方程式(さくま=はっとりほうていしき)は、完全黒体から放射された、もしくは熱放射検出器により受信された熱放射、放射束、放射パワーの量を予測するための数学モデルである。 1982年に佐久間史洋
歴史
佐久間=服部方程式は物体の温度に基づいて熱放射から電磁波信号を与える。信号は電磁流速であってもよいし、この放射を測定する検出器により生成される信号であってもよい。銀点[A]以下では佐久間=服部方程式を用いた方法が提案されている[1]。一般形は次のようになる[3]。 S ( T ) = C exp ( c 2 λ x T ) − 1 , {\displaystyle S(T)={\frac {C}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda _{x}T}}\right)-1}},}
ここで
C {\displaystyle C} スカラー係数 プランキアン形式は次の置換により実現される。 λ x = A + B T {\displaystyle \lambda _{x}=A+{\frac {B}{T}}} この置換を行うことで次のようなプランキアン形式の佐久間=服部方程式が得られる。 佐久間=服部方程式(プランキアン形式) S ( T ) = C exp ( c 2 A T + B ) − 1 {\displaystyle S(T)={\frac {C}{\exp \left({\frac {c_{2}}{AT+B}}\right)-1}}} プランキアン形式は放射温度測定[3]や赤外線温度測定[5]の不確かさバジェットの計算に使用することが推奨されている。また、銀点未満の放射温度計の較正に使用することも推奨されている[3]。 プランキアン形式はプランクの法則と類似している。 S ( T ) = c 1 λ 5 [ exp ( c 2 λ T ) − 1 ] {\displaystyle S(T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}\left[\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1\right]}}} ただし、佐久間=服部方程式は低温、広帯域の放射温度測定を考える場合に非常に有用である。広いスペクトル帯域でプランクの法則を使用する場合、次のような積分を考慮する必要がある。 S ( T ) = ∫ λ 1 λ 2 c 1 λ 5 [ exp ( c 2 λ T ) − 1 ] d λ {\displaystyle S(T)=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}{\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}\left[\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1\right]}}d\lambda } この積分により不完全多重対数関数
c 2 {\displaystyle c_{2}} 第2放射定数 (0.014387752 m?K[4])
λ x {\displaystyle \lambda _{x}} 温度依存の有効波長(メートル)
T {\displaystyle T} 温度(ケルビン)
プランキアン形式
導出
逆方程式 [5] T = c 2 A ln ( C S + 1 ) − B A {\displaystyle T={\frac {c_{2}}{A\ln \left({\frac {C}{S}}+1\right)}}-{\frac {B}{A}}}
1次導関数[6] d S d T = [ S ( T ) ] 2 A c 2 C ( A T + B ) 2 exp ( c 2 A T + B ) {\displaystyle {\frac {dS}{dT}}=\left[S(T)\right]^{2}{\frac {Ac_{2}}{C\left(AT+B\right)^{2}}}\exp \left({\frac {c_{2}}{AT+B}}\right)}
ディスカッション
( λ = c 2 / ( x T ) {\displaystyle \lambda =c_{2}/(xT)} , d λ = − c 2 / ( x 2 T ) d x {\displaystyle d\lambda =-c_{2}/(x^{2}T)dx} の置換をしている。)すると、 J ( c ) ≡ ∫ c ∞ x 3 exp x − 1 d x = ∫ c ∞ x 3 exp ( − x ) 1 − exp ( − x ) d x = ∫ c ∞ ∑ n ≥ 1 x 3 exp ( − n x ) d x {\displaystyle J(c)\equiv \int _{c}^{\infty }{\frac {x^{3}}{\exp x-1}}dx=\int _{c}^{\infty }{\frac {x^{3}\exp(-x)}{1-\exp(-x)}}dx=\int _{c}^{\infty }\sum _{n\geq 1}x^{3}\exp(-nx)dx} = ∑ n ≥ 1 exp ( − n c ) ( n c ) 3 + 3 ( n c ) 2 + 6 n c + 6 n 4 {\displaystyle =\sum _{n\geq 1}\exp(-nc){\frac {(nc)^{3}+3(nc)^{2}+6nc+6}{n^{4}}}}