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一つの面と一つの辺を持つメビウスの帯は、位相幾何学の研究対象の一つである。三葉結び目（もっとも単純な非自明な結び目）マグカップからドーナツ（トーラス）への連続変形（同相写像の一種）とその逆。

数学の一分野、位相幾何学（いそうきかがく、英: topology, トポロジー[注釈 1]）は、その名称がギリシア語: τ?πο?（「位置」「場所」）と λ?γο?（「言葉」「学問」） に由来し、図形を構成する点の連続的位置関係のみに着目する幾何学[1]で「位置の学問」を意味している。

トポロジーは、何らかの形（かたち。あるいは「空間」）を連続変形（伸ばしたり曲げたりすることはするが切ったり貼ったりはしないこと）しても保たれる性質（位相的性質または位相不変量）に焦点を当てたものである[2]。位相的性質において重要なものには、連結性およびコンパクト性などが挙げられる[3]。

位相幾何学は、空間、次元、変換といった概念の研究を通じて、幾何学および集合論から生じた分野である[4]。このような考え方は、17世紀に「位置の幾何」（羅: geometria situs）および「位置の解析」（羅: analysis situs）を見越したゴットフリート・ライプニッツにまで遡れる。レオンハルト・オイラーの「ケーニヒスベルクの七つの橋」の問題および多面体公式がこの分野における最初の定理であるというのが定説となっている。用語 topology は19世紀にヨハン・ベネディクト・リスティング（英語版）によって導入されたが、位相空間の概念が起こるのは20世紀の最初の10年まで待たねばならない。20世紀中ごろには、位相幾何学は数学の著名な一分野となっていた。

位相幾何学には様々な分科が存在する[5]。

位相空間論 (General topology[注釈 1]) は位相の基礎となる側面を確立し、位相空間の性質を研究し、位相空間特有の概念について研究する。別の言い方をすると、「与えられた集合を位相空間とするような開集合に関して研究する」分野である。これには他のあらゆる分野で用いられる基本的な位相的概念（コンパクト性や連結性などの話題を含む）を扱う点集合位相 (point-set topology) も含まれる。

代数的位相幾何学は、ホモロジー群やホモトピー群などの代数的構成を用いて連結性の度合いを測ることを試みる。

微分位相幾何学は可微分多様体上の可微分写像を扱う分野である。微分幾何学とも近しい関係にあり、これらを合わせて可微分多様体の幾何学的理論が構築される。

幾何学的位相幾何学は主として多様体およびそれらの別の多様体への埋め込みについて研究する。特に活発なのが、四次元（以下）の多様体について調べる低次元位相幾何学であり、これには結び目について研究する結び目理論も含まれる。

歴史オイラーによる「ケーニヒスベルクの 7 つの橋」問題の解決は位相幾何学の萌芽（のひとつ）であるとみなされている。

ユークリッド幾何学が紀元前にはできていたことと比較すると、オイラーやガウスに始まる位相幾何学は高々 250 年の歴史であり、大きな差がある。