位相幾何学という数学の分野において、位相多様体（いそうたようたい、英: topological manifold）とは、以下に定義される意味で実 n 次元空間に局所的に似ている（分離空間でもある）位相空間である。位相多様体は数学全般に応用を持つ位相空間の重要なクラスをなす。

「多様体」は位相多様体を意味することもあるし、より多くは、追加の構造を持った位相多様体を指す。例えば可微分多様体は可微分構造を備えた位相多様体である。任意の多様体は、単に追加の構造を忘れることによって得られる、台となる位相多様体を持つ。多様体の概念の概観はその記事に与えられている。この記事は純粋に多様体の位相的側面に焦点を当てる。
定義

位相空間 X が局所ユークリッド的 (locally Euclidean) とは、非負整数 n が存在して、X の任意の点がユークリッド空間 En（あるいは同じことだが実 n 次元空間 Rn あるいは2つのどちらかのある連結開部分集合）に同相な近傍をもつことをいう[注釈 1]。

位相多様体 (topological manifold) とは局所ユークリッド的ハウスドルフ空間のことである。位相多様体には追加の条件を課すのが一般的である。特に、多くの著者はパラコンパクトあるいは第二可算であると定義する。理由やいくつかの同値な条件は以下で議論される。

記事の残りでは「多様体」は位相多様体を意味する。n 次元多様体は任意の点が Rn に同相な近傍を持つような位相多様体を意味する。
例詳細は「多様体の一覧（英語版）」を参照
n 次元多様体

実座標空間 Rn はプロトタイプな n 次元多様体である。

任意の離散空間は 0 次元多様体である。

円周はコンパクト 1 次元多様体である。

トーラスとクラインの壺はコンパクト 2 次元多様体（あるいは曲面）である。

n 次元球面 Sn はコンパクト n 次元多様体である。

n 次元トーラス Tn（n 個の円周の直積）はコンパクト n 次元多様体である。

射影多様体

実数、複素数、四元数上の射影空間はコンパクト多様体である。

実射影空間（英語版） RPn は n 次元多様体である。

複素射影空間（英語版） CPn は 2n 次元多様体である。

四元数射影空間（英語版） HPn は 4n 次元多様体である。


射影空間に関係する多様体はグラスマン多様体（英語版）、旗多様体、スティーフェル多様体（英語版）を含む。

他の多様体

レンズ空間は奇数次元球面の商である多様体のクラスである。

リー群は群構造を持った多様体である。

n 次元多様体の任意の開部分集合は部分空間位相で n 次元多様体である。

構成

M が m 次元多様体で N が n 次元多様体ならば、積 M × N は (m+n) 次元多様体である。

n 次元多様体の族の直和は n 次元多様体である（ピースはすべて同じ次元でなければならない）。

2つの n 次元多様体の連結和は別の n 次元多様体になる。

性質

局所ユークリッド的であるという性質は局所同相によって保たれる。つまり、X が局所ユークリッド的で n 次元で、f: Y → X が局所同相ならば、Y も局所ユークリッド的で n 次元である。特に、局所ユークリッド的であることは位相的性質である。

多様体はユークリッド空間の局所的な性質の多くを引き継ぐ。特に、それらは局所コンパクト、局所連結、第一可算、局所可縮、局所距離化可能である。多様体は、局所コンパクトハウスドルフなので、チコノフ（英語版）でなければならない。

ハウスドルフの条件を課すことで多様体に対していくつかの性質が同値になる。例えば、ハウスドルフ多様体に対して、σコンパクト性と第二可算性の概念は同じであることを示すことができる。実際、ハウスドルフ多様体は局所コンパクトハウスドルフだから、（完全）正則である[1]。そのような空間 X がσコンパクトであるとする。するとそれはリンデレフであり、リンデレフかつ正則ならばパラコンパクトであるから、X は距離化可能である。しかし距離化可能空間において第二可算性はリンデレフ性と一致するから、X は第二可算である。逆に、X がハウスドルフ第二可算多様体ならば、σコンパクトでなければならない[2]。

多様体は連結であるとは限らないが、任意の多様体 M は連結多様体の直和である。これらは単に M の連結成分であり、多様体は局所連結だからこれらは開集合である。多様体は局所弧状連結なので、弧状連結であることと連結であることは同値である。弧状連結成分は連結成分と同じであることが従う。
ハウスドルフの公理

ハウスドルフの性質は局所的なものではない。なのでユークリッド空間はハウスドルフであるにもかかわらず、局所ユークリッド空間はハウスドルフであるとは限らない。しかしながら、すべての局所ユークリッド空間が T1 であることは正しい。

ハウスドルフでない局所ユークリッド空間の例は2つの原点を持つ直線（英語版）である。この空間は実数直線の原点を「2つの」点で置き換え、各原点の開近傍は原点を含むある開区間のすべての 0 でない数を含むものとして作られる。この空間は2つの原点を分離できないのでハウスドルフでない。
コンパクト性と可算性の公理

多様体が距離化可能であることとパラコンパクトであることは同値である。