この項目では、群論における位数 (order) について説明しています。数学の他の分野における位数については「位数」を、他の学問分野におけるオーダーについては「オーダー」をご覧ください。
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代数的構造 → 群論
群論

基本概念

部分群

正規部分群


商群

（半）直積

群準同型


核

像

直和


リース積

単純

有限


無限（英語版）

連続

乗法


加法

巡回

アーベル

二面体


冪零

可解


群論の用語



群論のトピックス一覧


有限群

有限単純群の分類


巡回

交代

リー型（英語版）

散在（英語版）



コーシーの定理

ラグランジュの定理


シローの定理

ホールの定理


p 群

基本アーベル群


フロベニウス群（英語版）


シューア multiplier（英語版）



対称群 Sn


クラインの四元群 V

二面体群 Dn

四元数群 Q8

二重巡回群 Dicn


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離散群

格子


整数 (Z)

格子
モジュラー群

PSL(2, Z)

SL(2, Z)

位相 / リー群

ソレノイド（英語版）

円周


一般線型 GL(n)


特殊線型 SL(n)


直交 O(n)


ユークリッド E(n)


特殊直交 SO(n)


ユニタリ U(n)


特殊ユニタリ SU(n)


斜交 Sp(n)


G2（英語版）

F4（英語版）

E6（英語版）

E7（英語版）

E8


ローレンツ

ポアンカレ

共形（英語版）


微分同相

ループ（英語版）
無限次元リー群（英語版）

O(∞)

SU(∞)

Sp(∞)

代数群

楕円曲線


線型代数群


アーベル多様体

数学の分野である群論において、有限群の位数（英: order）はその濃度、すなわち、その集合に入っている元の個数である。また、群の元 a の位数（order, ときに period）は am = e であるような最小の正の整数mである（ただし e は群の単位元を表し am は a の m 個のコピーの積を表す）。そのような m が存在しなければ、a の位数は無限であるという。

群 G の位数は ord(G) や |G。で表記され、元 a の位数は ord(a) や |a。、それ以外では ord ⁡ ( ⟨ a ⟩ ) {\displaystyle \operatorname {ord} (\langle a\rangle )} で表記される。ここで、やま括弧による記法は生成されたグループをあらわす。
例

例。対称群 S3 は以下の乗積表をもつ。

?estuvw
eestuvw
ssevwtu
ttueswv
uutwves
vvwseut
wwvutse

この群は 6 つの元をもつので、ord(S3 = 6 である。定義によって、単位元 e の位数は 1 である。s, t, w の各々は自乗すれば e になるので、これらの群の元の位数は 2 である。一覧表を完成するには、u と v の位数はどちらも 3 である、というのも u2 = v であり u3 = vu = e であり、v2 = u であり v3 = uv = e だからだ。
位数と構造