代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、複素数であって、有理数係数（あるいは同じことだが、分母を払って、整数係数）の 0 でない一変数多項式の根（すなわち多項式の値が 0 になる値）となるものをいう。全ての整数や有理数は代数的数であり、また全ての整数の冪根も代数的数である。実数や複素数には代数的数でないものも存在し、そのような数は超越数と呼ばれる。例えば π や e は超越数である。ほとんどすべての複素数は超越数である（#集合論的性質）。目次

1 概要

2 定義

2.1 代数的数

2.2 代数的整数

2.3 既約多項式

2.4 共役数

2.5 判別式

2.6 ノルム

2.7 トレース

2.8 ハウス

2.9 高さ


3 代数的性質

4 代数的整数環

5 数論的性質

6 集合論的性質

7 脚注

8 関連項目

9 参考文献

10 外部リンク

概要

複素数 α に対し、有理数を係数とする多項式 f ( x ) = x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 {\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}

が存在して、f(α) = 0 となるとき α を代数的数という。

α が有理数ならばf(x) = x − α

は、α を根に持つので、有理数はすべて代数的数である。

無理数ではたとえば 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} はf(x) = x2 − 2

の根であるので代数的数であるし、複素数でもf(x) = x2 + 1

の根である ±i は代数的数である。

しかしながら、全ての無理数が代数的数であるかというと、そうではないことが知られている。たとえば円周率 π や 自然対数の底（ネイピア数）e は、0 以外のいかなる有理数係数多項式に対しても、根になることはない。
定義
代数的数

複素数 α に対し、有理数を係数とする多項式 f ( x ) = x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 {\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}

が存在して f(α) = 0 となるとき、α は代数的数であるという。

同じことであるが、整数 a n ≠ 0 , a n − 1 , ⋯ , a 0 {\displaystyle a_{n}\neq 0,a_{n-1},\cdots ,a_{0}} が存在して、 f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 ,   f ( α ) = 0 {\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0},\ f(\alpha )=0}

が成り立つとき、α は代数的数であるという。
代数的整数詳細は「代数的整数」を参照

代数的数 α を根とする 0 ではない整数係数多項式で、最高次の係数が 1 であるもの（モニック多項式と呼ぶ）が存在するとき、α は代数的整数 (algebraic integer) であるという。代数的数の中で整なものの意味である。特に、整数や、√2, i は、代数的整数である。整数 0, ±1, ±2, … ∈ Z を代数的整数の中で特に区別する必要がある場合、Z の元のことを有理整数 (rational integer) と呼ぶ。
既約多項式

代数的数 α を根とする 0 でない有理数係数多項式のうち、次数が最小で、最高次の係数が 1 であるものを、α の既約多項式 (irreducible polynomial) という。最小多項式は、有理係数多項式上既約多項式である。

代数的数 α の最小多項式の次数を、α の次数 (degree) といい、deg α で表す。次数が n であるとき、α は n 次の代数的数であるという。たとえば、有理数は 1 次の代数的数ということができる。また 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は、2 次の代数的数である。
共役数

代数的数 α の既約多項式の根を、α の共役数 (conjugate) という。たとえば、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} の共役数は、 2 , − 2 {\displaystyle {\sqrt {2}},\,-{\sqrt {2}}} である。

一般に、n 次の代数的数は、自分自身を含め、重複を込めててちょうど n 個の共役数を持つ。さらに、任意の代数的数 α の共役複素数 α ¯ {\displaystyle {\overline {\alpha }}} は、α の共役数の1つである。
判別式

代数的数 α の共役数を α 1 , α 2 , ⋯ , α n {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}} とする。 D α = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( α i − α j ) 2 {\displaystyle D_{\alpha }=\textstyle \prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}

を α の判別式 (discriminant) という。代数的数の判別式は有理数であり、代数的整数の判別式は有理整数である。0 でない代数的数の判別式は 0 ではない。
ノルム

代数的数 α の共役数を α 1 , α 2 , ⋯ , α n {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}} とし、K = Q(α) とおく。 N K / Q ( α ) = α 1 α 2 ⋯ α n {\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{n}}

を α のノルム (norm) という。代数的数のノルムは有理数であり、代数的整数のノルムは有理整数である。0 でない代数的数のノルムは 0 ではない。
トレース

代数的数 α の共役数を α 1 , α 2 , ⋯ , α n {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}} とし、K = Q(α) とおく。 Tr K / Q ⁡ ( α ) = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle \operatorname {Tr} _{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}

を α のトレース (trace) という。代数的数のトレースは有理数であり、代数的整数のトレースは有理整数である。
ハウス

代数的数 α の全ての共役数の絶対値の最大値を、α のハウス (house) といい、 。 α 。 ¯ {\displaystyle {\overline {|\alpha |}}} で表す。
高さ

代数的数 α の最小多項式の分母を払って、全ての係数が互いに素である整数係数多項式にしたとき、係数の絶対値の最大値を α の（古典的）高さ ((classical) height) という。また、 K を α を含む Q 上 d 次の代数体とするとき、v が K 上の正規（乗法）付値全体を走るときの積 H ( α ) = ( ∏ v max { 1 , 。 α 。 v } ) 1 / d {\displaystyle H(\alpha )=\left(\prod _{v}\max\{1,\left|\alpha \right|_{v}\}\right)^{1/d}}