代数多様体（だいすうたようたい、algebraic variety）は、最も簡略に言えば、多変数多項式からなる連立方程式の解集合として定義される図形である。代数幾何学の最も主要な研究対象であり、デカルトによる座標平面上の解析幾何学の導入以来、多くの数学者が研究してきた数学的対象である。主にイタリア学派による射影幾何学的代数多様体、代数関数論およびその高次元化に当たるザリスキおよびヴェイユによる付値論的抽象代数多様体などの基礎付けがあたえられたが、20世紀後半以降はより多様体論的な観点に立脚したスキーム論による基礎付けを用いるのが通常である。

本項では、スキーム論的な観点に立ちつつ、スキーム論を直接用いず代数多様体を定義しその性質について述べる。また議論を簡潔にするのため特に断らない限り体 k は代数的閉体であると仮定する（体 k が代数的閉であるという条件を除去するために必要な考察についてはスキーム論へ向けてを参照）。
概説

最も初等的に定義される代数多様体は、アフィン代数多様体である。代数的閉体 k 上の n 次元のアフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} をここでは、ベクトル空間 kn の点全体とする。k を係数にもつ有限個の n 変数多項式系 f = (fi(x1, ..., xn) 。i = 1, 2, ..., r) に対して、それが定めるアフィン代数的集合 V(f) を V ( f ) = { ( a 1 , … , a n ) ∈ A k n ∣ f i ( a 1 , … , a n ) = 0 ( ∀ i ) } {\displaystyle V(\mathbf {f} )=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {A} _{k}^{n}\mid f_{i}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\;(\forall i)\}}

で定義する。アフィン代数的集合 V が V に真に含まれるアフィン代数的集合の和集合として書けないとき、V は既約であるといい、既約なアフィン代数的集合をアフィン代数多様体という。

k を実数体 R や複素数体 C とした場合、アフィン空間はユークリッド空間になるので、アフィン代数多様体はその閉集合となり、普通の意味での位相空間となる。平面 A C 2 {\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}} 上、１つの多項式 F(x1, x2) で定義されたアフィン代数多様体を平面曲線というが、平面曲線は微分が消えていない点のまわりでは通常の意味での多様体（C 上ならばリーマン面）になっている（陰関数定理）。しかし、この位相空間は一般にコンパクトにならない。平面曲線の場合、方程式 f(x1, x2) = 0 から定まる代数関数 (algebraic function) は、解析接続およびリーマンの除去可能特異点定理により、この平面曲線から有限個の点（特異点）を取り除きコンパクト化したリーマン面 S 上の有理型関数としてとらえられ、代数関数全体のなす体、つまり1変数の有理関数体の f による拡大体 K = C(x1)[x2]/(f) は、このコンパクトリーマン面 S の有理型関数全体のなす体 M(S) と自然に同形になる。更に、コンパクトなリーマン面 S の同型類はその上の有理型関数体 M(S) と1対1に対応している。

この代数関数論から、より高次元の代数多様体を考えるにあたっては代数多様体としてはコンパクトなものを考え、その上の関数としては有理型関数あるいはコンパクトなもの同士の間の正則写像を考えると都合が良い、という教訓が得られる。この要請を満たす代数多様体は射影空間の中で定義される射影代数多様体として実現できる[注釈 1]。

体 k 上の射影空間 P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}} は n + 1 個の k の元の比 [a0 : a1 : ... : an] 全体の集合である。斉次多項式（含まれる単項式の次数が全て同じ）F(x0 , x1, ..., xn) はその次数が d なら、0 でない定数 t に対して、F(t.x0, t.x1, ..., t.xn) = td. F(x0, x1, ..., xn) となるので、射影空間の点 [a0 : a1 : ... : an] に対して、F(a0, a1, ..., an) = 0 となるかどうかは点を表す斉次座標の表示の仕方（定数倍の差異）に拠らずに定まっている。そこで、有限個の (n + 1)-変数斉次多項式系 F = (Fi 。i = 0, ..., r) に対して射影代数的集合 Vh(F) を V h ( F ) = { [ a 0 : ⋯ : a n ] ∈ P k n ∣ F i ( a 0 , … , a n ) = 0 ( ∀ i ) } {\displaystyle V_{h}(\mathbf {F} )=\{[a_{0}:\cdots :a_{n}]\in \mathbb {P} _{k}^{n}\mid F_{i}(a_{0},\ldots ,a_{n})=0\;(\forall i)\}}

で定義できる。アフィン代数多様体の場合と同様に、真に含まれる射影代数的集合の和として書けない射影代数的集合を射影代数多様体と呼ぶ。 射影代数多様体 X = Vh(F) に対して、その関数体 k(X) を、環 A 0 = k [ x 1 , … , x n ] / ( F 0 ( 1 , x 1 , … , x n ) , … , F r ( 1 , x 1 , … , x n ) ) {\displaystyle A_{0}=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(F_{0}(1,x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{r}(1,x_{1},\ldots ,x_{n}))}

の商体として定義する[注釈 2]と代数関数の場合の適切な一般化になっている。

ここで、 P C 2 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}} に、方程式 x 0 2 − x 1 2 − x 2 2 = 0 {\displaystyle x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0} が定める射影代数多様体を X とすると、その関数体 C(X) は C ( x 1 ) [ x 2 ] / ( x 1 2 + x 2 2 − 1 ) {\displaystyle \mathbb {C} (x_{1})[x_{2}]/(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1)} となる。