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やノートページでの議論にご協力ください。数学では、体 k 上の n 変数の代数函数体 (algebraic function field)(単に、函数体とも言う)は、k 上に超越次数 n を持つ有限生成な体の拡大 K/k である。同じことであるが[1]、k 上の n 変数の代数函数体は、k 上の n 変数の有理函数の体 k(x1, ..., xn) の有限拡大として定義できる。 例として、多項式環 k[X, Y] において、既約多項式 Y2−X3 により生成されたイデアルを考え、剰余環 k[X,Y]/(Y2−X3) の分数体を形成する。これは k 上の一変数の函数体であり、 k ( X ) ( X 3 ) {\displaystyle k(X)({\sqrt {X^{3}}})} 、あるいは、 k ( Y ) ( Y 2 3 ) {\displaystyle k(Y)({\sqrt[{3}]{Y^{2}}})} と書くこともできる。代数函数体の次数はうまく定義できる考え方ではないことが分かる。 k 上の代数函数体は、圏を形成する。代数函数体 K から L への射は、すべての a∈k に対して f(a) = a となる環準同型 f : K→L である。このような準同型は単射である。K を n 変数の函数体、L を m 変数の函数体、n > m とすると、K から L への射は存在しない。 k 上の次元 n の代数多様体の函数体は、k 上の n 変数の代数函数体である。 k 上の 1 変数の函数体は、本質的に正則 連結なリーマン面 X 上に定義された有理型函数の体 M(X) は、複素数 C 上の一変数函数体である。実際、M は、コンパクトで連結なリーマン面の圏(非定数の正則写像を射としてもつ)と C 上の一変数函数体との間の反変圏同値である。同様な対応が、コンパクトで連結なクライン曲面 数体と函数体との類似
例
カテゴリ構造
代数多様体、代数曲線、リーマン面から生ずる函数体
数体と有限体
有限体上の函数体の研究は、暗号理論や誤りコード訂正への応用を持っている。