数学の体論・代数的整数論における代数体（だいすうたい、英: algebraic number field[注 1]）とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 K の有理数体上の拡大次数 [ K : Q ] {\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]} を、K の次数といい、次数が n である代数体を、n 次の代数体という。特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。

K を n 次の代数体とすると、K は単拡大である。つまり、K の元 θ が存在して、K の任意の元 α は、以下の様に表される。

α = a 0 + a 1 θ + ⋯ + a n − 1 θ n − 1 {\displaystyle \alpha =a_{0}+a_{1}\theta +\cdots +a_{n-1}\theta ^{n-1}} 。但し、 a 0 ,   a 1 , … ,   a n − 1 {\displaystyle a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n-1}} は有理数。

このとき θ は n 次の代数的数であるので、K を Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上のベクトル空間とみたとき、 { 1 ,   θ , … ,   θ n − 1 } {\displaystyle \{1,\ \theta ,\ldots ,\ \theta ^{n-1}\}} は基底となる。
整数環

n 次の代数体 K に含まれる代数的整数全体の集合を O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} とすると、以下のことが成立する。
O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} は整域である。このことより、 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} を K の整数環 (ring of integers) という。

O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} は、有理整数環上ランク n の自由加群である。つまり、 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} の元、 ω 1 , … ,   ω n {\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\ \omega _{n}} が存在して、任意の O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} の元 α は、以下の形に一意的に表される。 α = a 1 ω 1 + ⋯ + a n ω n {\displaystyle \alpha =a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{n}\omega _{n}} 。但し、 a 1 , … ,   a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,\ a_{n}} は有理整数。
上記 { ω 1 , … ,   ω n } {\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\ \omega _{n}\}} を K の整基底 (integral basis) または整数基という。

O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} は整閉である。つまり、K の元 β に対して、 β r + α r − 1 β r − 1 ⋯ + α 1 β + α 0 = 0 {\displaystyle \beta ^{r}+\alpha _{r-1}\beta ^{r-1}\cdots +\alpha _{1}\beta +\alpha _{0}=0}
となる K の元　 α 0 ,   α 1 , … ,   α r − 1 {\displaystyle \alpha _{0},\ \alpha _{1},\ldots ,\ \alpha _{r-1}} が存在するならば、β は、 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} の元である。

O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} はデデキント環である。

一般に、 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} は一意分解整域ではない。

特別な代数体の整数環については、その数論的性質が詳しく研究されており、特別な名称が付けられている。
ガウス整数
Q ( − 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})} の整数環、 Z [ − 1 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]} のことである。
アイゼンシュタイン整数
Q ( − 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})} の整数環、 Z [ ( − 1 + − 3 ) / 2 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [(-1+{\sqrt {-3}})/2]} のことである。
基本的な概念

以下において、代数体 K の元 α に対して、 α ( 1 ) , … , α ( n ) {\displaystyle \alpha ^{(1)},\ldots ,\alpha ^{(n)}} を、α の共役数とする。