数学、特に抽象代数学における群の交換子部分群（こうかんしぶぶんぐん、英: commutator subgroup）あるいは導来部分群（どうらいぶぶんぐん、英: derived subgroup）とは、交換子全体が生成する部分群である[1][2]。

交換子部分群は商がアーベル群となる最小の正規部分群であるという点で重要である。すなわち、商 G/N がアーベル群となる必要十分条件は正規部分群 N が交換子部分群を含むことである。ある意味で交換子部分群はアーベル群との差異を表していて、交換子部分群が大きいほどアーベル群との隔たりが大きいと言える。
交換子詳細は「交換子」を参照

群 G の元 x, y に対し、x と y との交換子とは元 [ x , y ] = x − 1 y − 1 x y {\displaystyle [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy}

のことである。（交換子を [x, y] = xyx−1y−1 と定義する流儀もある。）群の元 x と y とが可換である（つまり xy = yx が成り立つ）必要十分条件は交換子 [x, y] が単位元 e と等しいことである。可換とは限らない一般の場合には xy = yx[x, y] が成り立つ。

群 G の元 g が交換子であるとは、適当な元 x, y を取って g = [x, y] と書けることを言う。単位元 e = [e, e] は常に交換子であり、これが唯一の交換子となるための必要十分条件は G がアーベル群であることである。

ここに単純だが有用な交換子恒等式を挙げる。以下 x, y, z は群 G の元とする。

反転: [x, y]−1 = [y, x].

共役: [x, y]z = [xz, yz]. （xz = z−1xz.）

任意の群準同型 φ: G → H に対し φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)].

[xy, z] = [x, z]y [y, z]. 同様に [x, yz] = [x, z] [x, y]z.

前の二つは G の交換子全体の成す部分集合が反転と共役に関して閉じていることを示すものである。三つ目の式で H = G と取れば、交換子全体の成す部分集合が G の任意の準同型で閉じていることを示すものとなる。この三つ目は実は二つ目の等式の一般化であり、実際に自己準同型 φ として共役変換 x ? xs を取れば二つ目が出る。

しかし交換子二つ以上の積は必ずしも交換子とは限らない。一般的な例として、自由群の元 x, y, z, w に対して交換子の積 [x, y] [z, w] が交換子に書けないことを見ればよい。二つの交換子の積が交換子とならない最小位数の有限群は位数 96 であることが知られており、実はこの性質を持つ位数 96 の群は互いに同型でないものが二種類存在する[3]。一方で、たとえば有限非可換単純群の場合には交換子の積は交換子で表せる??実際にはすべての元が交換子で表せる（Ore予想[4]）??ことが知られている。
定義

一般に交換子が積で閉じていないことが次の定義に繋がる。群 G の交換子全体が生成する部分群 [ G , G ] = ⟨ { [ x , y ] ∣ x , y ∈ G } ⟩ {\displaystyle [G,G]={\big \langle }\left\{\,[x,y]\mid x,y\in G\,\right\}{\big \rangle }}

を G の交換子部分群という。これを導来部分群と呼ぶこともある。交換子部分群を表す記号としては他にも G ′ , G ( 1 ) , γ 2 ( G ) , D ( G ) {\displaystyle G',\quad G^{(1)},\quad \gamma _{2}(G),\quad D(G)}

などが慣習的に用いられることがある。交換子の逆元も交換子なので、交換子部分群 [G, G] の任意の元は有限個の交換子の積 [ x 1 , y 1 ] [ x 2 , y 2 ] ⋯ [ x n , y n ] {\displaystyle [x_{1},y_{1}][x_{2},y_{2}]\cdots [x_{n},y_{n}]}

の形に書くことができる。さらに共役に関しては、 ( [ x 1 , y 1 ] ⋯ [ x n , y n ] ) z = [ x 1 z , y 1 z ] ⋯ [ x n z , y n z ] {\displaystyle ([x_{1},y_{1}]\cdots [x_{n},y_{n}])^{z}=[x_{1}^{z},y_{1}^{z}]\cdots [x_{n}^{z},y_{n}^{z}]}

が成立するから、交換子部分群は G の正規部分群になる。また任意の準同型 φ: G → H に対して φ ( [ x 1 , y 1 ] ⋯ [ x n , y n ] ) = [ φ ( x 1 ) , φ ( y 1 ) ] ⋯ [ φ ( x n ) , φ ( y n ) ] {\displaystyle \varphi ([x_{1},y_{1}]\cdots [x_{n},y_{n}])=[\varphi (x_{1}),\varphi (y_{1})]\cdots [\varphi (x_{n}),\varphi (y_{n})]}

が成立するから、交換子部分群の準同型写像による像は交換子部分群に含まれる。これにより、交換子部分群を作る操作は群の圏における函手と見ることができる（これについて、いくらかは後述する）。また、さらに G = H と取れば、交換子部分群は G の任意の自己準同型に関して保たれることがわかる。すなわち、交換子部分群 [G, G] は G の完全特性部分群（英語版）であり、これは単に正規であるというよりも非常に強い性質である。

交換子部分群は、群 G の元 g を積の形 g = g1 g2 … gk に書くとき、右辺の積の順番を適当に交換して単位元にすることができるような元 g の全体で生成される部分群として定義することもできる。
導来列

導来群を作る操作を繰り返して G ( 0 ) := G {\displaystyle G^{(0)}:=G} G ( n ) := [ G ( n − 1 ) , G ( n − 1 ) ] ( n ∈ N ) {\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\qquad (n\in \mathbb {N} )}