線型代数学において、交代行列（こうたいぎょうれつ、英: alternating matrix）、歪対称行列（わいたいしょうぎょうれつ、英: skew-symmetric matrix）または反対称行列（はんたいしょうぎょうれつ、英: antisymmetric matrix, antimetric matrix[1]; 反称行列）は、正方行列 A であってその転置 A? が自身の −1 倍となるものをいう。すなわち、転置に対して反対称性を持つ行列は交代行列である。交代行列とは逆に、転置に対して対称な行列は対称行列と呼ばれる[注釈 1]。

例えば行列 [ 0 2 − 1 − 2 0 − 4 + i 1 4 − i 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4+i\\1&4-i&0\end{bmatrix}}}

は交代行列である。

交代行列と類似の反対称性を持つ行列として、歪エルミート行列がある。これはエルミート共役（転置複素共役）に対して反対称である。また、エルミート共役に対して対称な行列はエルミート行列と呼ばれる。実数の行列に対してはエルミート共役も転置も同じ操作になるので、実交代行列は実歪エルミート行列でもある。

交代行列は自身の転置が行列の反元になるものをいうが、自身の転置が乗法逆元、すなわち逆行列になる行列を直交行列という。また、エルミート共役が逆行列になる行列をユニタリー行列という。
定義

n次正方行列 A = (ai,j) が歪対称（skew-symmetric）あるいは交代的 (alternative) であるとは、以下の関係 A ⊤ = − A ( ⟺ a i , j = − a j , i ( ∀ i , j ) ) {\displaystyle A^{\top }=-A\quad (\iff a_{i,j}=-a_{j,i}\quad (\forall i,j))}

を満足するときに言う。成分を用いない形では、Rn の標準内積を ⟨,⟩ と書けば、n次実正方行列 A が歪対称であるための必要十分条件は ⟨ A x , y ⟩ = − ⟨ x , A y ⟩ ( ∀ x , y ∈ R n ) {\displaystyle \langle Ax,y\rangle =-\langle x,Ay\rangle \quad (\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n})}

を満たすことである。これはまた、交代的であるための必要十分条件は ⟨ x , A x ⟩ = 0 ( ∀ x ∈ R n ) {\displaystyle \langle x,Ax\rangle =0\quad (\forall x\in \mathbb {R} ^{n})}

が成り立つことであるとも言い表せる[注釈 1]。
性質
自由度

歪対称行列の和およびスカラー倍は再び歪対称である。したがって、n次歪対称行列の全体 Skewn はベクトル空間を成す。交代行列の主対角成分は必ず 0 であり、上三角成分を決めれば下三角成分はその符号反転として定まるから、ベクトル空間 Skewn の次元は .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}n(n − 1)/2 である。
歪対称成分

任意の n次正方行列 M に対し、その歪対称成分 (skew-symmetric component) は[注釈 2] A = 1 2 ( M − M ⊤ ) ∈ Skew n {\displaystyle A={\frac {1}{2}}(M-M^{\top })\quad \in \operatorname {Skew} _{n}}

で与えられる。行列の和への分解 M = A + S , ( A = 1 2 ( M − M ⊤ ) , S = 1 2 ( M + M ⊤ ) ) {\displaystyle M=A+S,\quad (A={\tfrac {1}{2}}(M-M^{\top }),\,S={\tfrac {1}{2}}(M+M^{\top }))}

は一意的に定まり、ベクトル空間の直和分解 Mat n = Skew n ⊕ Sym n {\displaystyle \operatorname {Mat} _{n}=\operatorname {Skew} _{n}\oplus \operatorname {Sym} _{n}}

を与える（ここに Matn は n-次正方行列の全体、Symn は n-次対称行列の全体）。
交代行列の行列式

A を n×n 交代行列とすると、A の行列式は det ( A ) = det ( A ⊤ ) = det ( − A ) = ( − 1 ) n det ( A ) {\displaystyle \det(A)=\det(A^{\top })=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A)}

を満足する。特に n が奇数ならばこれは 0 に等しい。この結果はカール・グスタフ・ヤコビに因んでヤコビの定理と呼ばれる[2]。

偶数次元の場合はもっと興味深い結果がある。次数 n が偶数であるときの A の行列式は A の成分に関する斉次多項式（代数形式）の完全平方式 det ( A ) = Pf ⁡ ( A ) 2 {\displaystyle \det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}}