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出典検索?: "井戸型ポテンシャル" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2015年9月）

井戸型ポテンシャル（いどがたポテンシャル）とは、量子力学の初歩で扱う例題である。問題としては平易だが、得られる解は量子論の特徴をよく表しているので、多くの教科書・演習書に取り上げられている。

ある有界領域Dを定め、ポテンシャルVを V ( x ) = { V 0 ( x ∈ D ) V ′ ( x ) ( x ∉ D ) {\displaystyle V({\boldsymbol {x}})={\begin{cases}V_{0}&({\boldsymbol {x}}\in D)\\V'({\boldsymbol {x}})&({\boldsymbol {x}}\not \in D)\end{cases}}}

とする ( V 0 < V ( x ) {\displaystyle V_{0}<V({\boldsymbol {x}})} ) 。領域 D {\displaystyle D} 内が「井戸の中」として捉えられる。このポテンシャルの中に粒子（電子とされる場合が多い）を閉じこめた時の固有状態・エネルギー固有値を求める。
1次元

井戸型ポテンシャルの本質は一次元でほぼ説明が可能であるため、この場合を重点的に説明する。
無限の深さ

まず，ポテンシャルが無限に深い場合，即ち V ( x ) = ∞ {\displaystyle V({\boldsymbol {x}})=\infty } であるような系を考える。この場合のシュレディンガー方程式は厳密に解くことができる。また、ポテンシャルには定数分の不定性があるため、 V 0 = 0 {\displaystyle V_{0}=0} とおく。この時に問題を整理すると、 V ( x ) = { 0 ( x ∈ [ 0 , L ] ) ∞ ( x ∉ [ 0 , L ] ) {\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&(x\in [0,L])\\\infty &(x\not \in [0,L])\end{cases}}}

となる。ポテンシャルは「井戸の中」では0であり、外では無限大である

現実的には、ポテンシャルは無限大にはなり得ないので、粗い近似ではあるが、量子論の基礎を理解する上で大きな影響はない。
解法

この時、領域外ではポテンシャルが無限大となるため、粒子の存在確率も0となると考える。従って、境界条件として ψ ( 0 ) = ψ ( L ) = 0 {\displaystyle \psi (0)=\psi (L)=0} を課す。この下で、領域 D {\displaystyle D} 内において、時間に依存しないシュレーディンガー方程式 − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ n ( x ) = E n ψ n ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x)}

（ m   {\displaystyle m\ } ：粒子の質量、 ψ n   {\displaystyle \psi _{n}\ } ：波動関数、 E n   {\displaystyle E_{n}\ } ：エネルギー固有値）を解くと、解は ψ n ( x ) = 2 L sin ⁡ k n x = 2 L sin ⁡ n π x L {\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin k_{n}x={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\frac {n\pi x}{L}}} E n = ℏ 2 k n 2 2 m = ℏ 2 n 2 π 2 2 m L 2 {\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}{k_{n}}^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}n^{2}{\pi }^{2}}{2mL^{2}}}} k n = n π L ( n ∈ N ) {\displaystyle k_{n}={\frac {n\pi }{L}}\quad (n\in {\boldsymbol {N}})}