五角数（ごかくすう、pentagonal number）とは、多角数の一種で、正五角形の形に点を図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。五角数は無数にあり、そのなかでは 1 が最も小さい。3で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例：5 (= 1 + 4)、12 (= 1 + 4 + 7)、92 (= 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22)
一般項151222
n 番目の五角数を Pn とすると、図よりP1 = 1 , Pn+1 = Pn + 3n + 1
が成り立つ。よって五角数は P n = P 1 + ∑ k = 1 n − 1 ( 3 k + 1 ) = n ( 3 n − 1 ) 2 = n 2 + T n − 1 {\displaystyle P_{n}=P_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}(3k+1)={\frac {n(3n-1)}{2}}=n^{2}+T_{n-1}}
で与えられる。(ただし Tn は n 番目の三角数)
五角数を小さいものから順に列記すると1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, … （オンライン整数列大辞典の数列 A326）
となる。
性質
n 番目の五角数は 3n − 1 番目の三角数の '"`UNIQ--templatestyles-00000002-QINU`"'1/3 に等しい。また 1 から n 番目までの五角数の相加平均は n 番目の三角数に等しい。
n 番目の五角数は n からの n 連続整数和で表せる。例. P2 = 2 + 3 、P3 = 3 + 4 + 5
五角数は奇数-奇数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。また 1 と 5 以外の五角数は全て合成数である。
五角数はオイラーの五角数定理に現れる数である。
全ての自然数は高々5つの五角数の和で表すことができる。(→多角数定理)
五角数の逆数の無限和は 1 1 + 1 5 + 1 12 + . . . = 3 log 3 − 3 π 3 = 1.4820375... {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{12}}+...=3\log {3}-{\frac {{\sqrt {3}}\pi }{3}}=1.4820375...}
である[1]。
五角数が三角数であるものは 1, 210, 40755, 7906276 ⋯ {\displaystyle \cdots } (オンライン整数列大辞典の数列 A014979)
五角数がハーシャッド数であるものは 1, 5, 12, 70, 117, 210, 247, 330, 715, ⋯ {\displaystyle \cdots } (オンライン整数列大辞典の数列 A242043)
五角数が平方数であるものは 0, 1, 9801, 94109401, ⋯ {\displaystyle \cdots } (オンライン整数列大辞典の数列 A036353)
脚注^ SIAM, ⇒Sum of the Reciprocals of Polygonal Numbers
関連項目
図形数
多角数
三角数
平方数（四角数）
オイラーの五角数定理
外部リンク
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発散級数
1 + 1 + 1 + 1 + ?
1 + 2 + 3 + 4 + ?
無限算術級数
等比数列
収束級数
1/2 ? 1/4 + 1/8 ? 1/16 + ?
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ?
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ?
発散級数
1 + 1 + 1 + 1 + ?
1 + 2 + 4 + 8 + ?
