五角形（ごかくけい、ごかっけい、英: pentagon）は、5つの頂点と辺を持つ多角形の総称。
正五角形

正五角形は、各辺の長さが等しく、内角も108°（中心角は72°）と一定な五角形である。辺の長さを a とすると
面積
A = 5 a 2 4 cot ⁡ π 5 = a 2 4 25 + 10 5 ≃ 1.72048 a 2 {\displaystyle A={\frac {5a^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\simeq 1.72048a^{2}}
内接円の半径
r = a 2 cot ⁡ π 5 {\displaystyle r={\frac {a}{2}}\cot {\frac {\pi }{5}}}
外接円の半径
R = a 2 csc ⁡ π 5 = 50 + 10 5 10 a {\displaystyle R={\frac {a}{2}}\csc {\frac {\pi }{5}}={\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{10}}a}
正五角形の作図定規とコンパスによる作図例

正五角形(regular pentagon)は定規とコンパスによる作図が可能である。以下に示すのは古典的な方法の一つである。

(1)(2)(3)(4)

直線上の一点Oを中心にとった円を描画し、直線と交わる二点をA, Bとする。ABの垂直二等分線、およびOAの垂直二等分線を作図する。

OAとその垂直二等分線が交わる点をC、円OとABの垂直二等分線が交わる点のうち一つをDとする。CDを半径にとり、Cを中心にDからABまで弧を描画する。弧とABが交わる点をEとする。

DEを半径にとり、Dを中心に弧を描画する。弧が円Oと交わる二点をF, Gとする。

同じ半径のままF, Gを中心とした弧を描画する。これらの弧が円Oと交わる五点D, F, G, I, Hを結ぶ図形が正五角形である。


正方形のマス目上での正五角形の描き方

正五角形の領域をその高さと外接円心の高さの比を利用して求め出す方法の一例

定理

正五角形の一辺と対角線との比は、黄金比に等しい。

正五角形の交わる対角線は、互いに他を黄金比に分ける。

対角線の長さが互いに全て等しい正多角形は、正五角形と正四角形(正方形)のみである。

n 角形の対角線の本数を m 本としたとき n = m が成り立つのは n = 5、すなわち五角形だけである。

種類
五等辺五角形詳細は「en:Equilateral pentagon」を参照

五等辺五角形は5つ辺が同じ長さの五角形である。@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}しかし、五角形の5つの内角は値の0~180度の範囲を取ることができるため、複数の五角形の集まりを形成することが可能である。[要校閲]また、正五角形も5つの辺全てが等しいため五等辺五角形と言える。

五等辺五角形の例

正五角形も五等辺五角形の一つである。

2つの角が直角の五等辺五角形

共円五角形共円五角形の例

共円五角形は、外接円と呼ばれる円が、すべての5つの頂点を通過している五角形である。正五角形は、共円五角形の一つである。共円五角形の面積は、規則的であるかどうかに関係なく、係数が五角形の辺の関数である七次方程式の根の1つの平方根の4分の1として表すことができる[1][2][3]。
ロビンスの五角形

有理数の辺と有理数の面積を持つ循環五角形が存在する。これは、ロビンスの五角形（英語版）と呼ばれている[4]。ロビンスの五角形の対角線はすべて有理数またはすべて無理数でなければならないことが証明されており、すべての対角線は有理数でなければならないと推測される[4]。