五次方程式（ごじほうていしき、英語: quintic equation）とは、次数が5であるような代数方程式のこと。
概要

一般に一変数の五次方程式はa5 x5 + a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0, (a5 ≠ 0)

の形で表現される。

代数学の基本定理によれば、任意の複素数係数方程式は複素数の中に根が存在する。その一方、五次以上の一般の方程式に対する代数的解法は存在しない。すなわち、一般の五次方程式に対して代数的な根の公式は存在しない。もう少し詳しく書くと、五次の一般方程式の根を、その式の各項の係数と有理数の、有限回の四則演算及び有限回の根号をとる操作の組み合わせで表示することはできない。

これはルフィニ、アーベルらによって示された（アーベル?ルフィニの定理参照）。またガロアによって方程式が代数的に解ける条件が裏付けられている（ガロア理論参照）。

なお、代数的ではないが、楕円関数などを用いた根の公式は存在する。
解の公式

五次方程式の解を超越的な手続を許して構成する方法としては、

レベル5のモジュラー方程式の解を利用する方法

超幾何級数を利用する方法

の2つが知られている。前者はエルミートによって、後者はクラインによって証明された[1][2]。
エルミートによる解法

五次方程式の解を構成するためには、まず、次の3つの事実を知っておかねばならない。

任意の五次方程式は代数的操作のみによってブリング-ジェラード(Bring-Jerrard)の標準形に変形できる。

レベル5のモジュラー方程式の解が具体的に求められる。

それらの解のある特定のコンビネーションが五次方程式を満足し、ブリング-ジェラードの標準形と関係付けることができる。

これらを結合することで五次方程式の解を構成することができる[3]。
ブリング-ジェラードの標準形

任意の五次方程式 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

はチルンハウス変換（英語版） y = x 4 + b 3 x 3 + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 {\displaystyle y=x^{4}+b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}

において適当に係数 bj を選ぶことによって、ブリング-ジェラードの標準形 y 5 + y + b = 0 {\displaystyle y^{5}+y+b=0}

へ変換することが可能であるので、まず、この形へ帰着させる。この手続は代数的に実行可能であるが bj は al の複雑な関数である。
レベル5のモジュラー方程式

複素トーラス（英語版）の周期をそれぞれ ω 1 , ω 2 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}} として、 τ {\displaystyle \tau } を τ = ω 2 ω 1 {\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}

で定義する。ただし、 τ {\displaystyle \tau } は純虚数と仮定する。また、 q = e i π τ {\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}

と定義する[注釈 1]。この時 q {\displaystyle q} と q n {\displaystyle q^{n}} が満足する関係式、または同値だが τ {\displaystyle \tau } と n τ {\displaystyle n\tau } とが満たすべき関係式のことを「レベル n {\displaystyle n} のモジュラー方程式」と言う。この方程式は次の形をとる[4]。 L ′ L = n K ′ K . {\displaystyle {\frac {L'}{L}}=n{\frac {K'}{K}}.}

ただし、 K , L {\displaystyle K,L} はそれぞれ母数が k , l {\displaystyle k,l} の第1種完全楕円積分、 K ′ , L ′ {\displaystyle K',L'} はそれぞれ母数が k ′ := 1 − k 2 {\displaystyle k':={\sqrt {1-k^{2}}}} [注釈 2]、 l ′ := 1 − l 2 {\displaystyle l':={\sqrt {1-l^{2}}}} の第1種完全楕円積分を表す[注釈 3]。この方程式によって、2つの母数 k , l {\displaystyle k,l} が満たすべき方程式が決まる。 n = 5 {\displaystyle n=5} のとき τ {\displaystyle \tau } と 5 τ {\displaystyle 5\tau } は次の関係式を満足することが分かっている。 F [ − κ ( 5 τ ) 4 , κ ( τ ) 4 ] = 0 , F ( x , y ) = x 6 − y 6 + 5 x 2 y 2 ( x 2 − y 2 ) − 4 x y ( x 4 y 4 − 1 ) = 0 , {\displaystyle F\left[-{\sqrt[{4}]{\kappa (5\tau )}},{\sqrt[{4}]{\kappa (\tau )}}\right]=0,\quad F(x,y)=x^{6}-y^{6}+5x^{2}y^{2}(x^{2}-y^{2})-4xy(x^{4}y^{4}-1)=0,}

ただし、 κ ( τ ) {\displaystyle \kappa (\tau )} は母数を表す。また、この式の証明の途中で次の2つの命題が証明される。

K = Q [ κ 4 ( τ ) ] {\displaystyle K=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )]} と定義すると、 F [ x , κ 4 ( ω ) ] ∈ Q [ κ 4 ( ω ) ] [ x ] = K [ x ] {\displaystyle F[x,{\sqrt[{4}]{\kappa }}(\omega )]\in \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{\kappa }}(\omega )][x]=K[x]} は K {\displaystyle K} 上で既約である。

この方程式の解が α ∞ = − κ ( 5 τ ) 4 , α l = κ ( τ + 16 l 5 ) 4 l ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \alpha _{\infty }=-{\sqrt[{4}]{\kappa (5\tau )}},\quad \alpha _{l}={\sqrt[{4}]{\kappa \left({\frac {\tau +16l}{5}}\right)}}\quad l\in \{1,2,3,4\}}

で与えられる[3]。
解の構成

今、 r 0 = ( α ∞ − α 0 ) ( α 1 − α 4 ) ( α 2 − α 3 ) κ 4 ( τ ) r 1 = ( α ∞ − α 1 ) ( α 2 − α 0 ) ( α 3 − α 4 ) κ 4 ( τ ) r 2 = ( α ∞ − α 2 ) ( α 1 − α 3 ) ( α 0 − α 4 ) κ 4 ( τ ) r 3 = ( α ∞ − α 3 ) ( α 2 − α 4 ) ( α 1 − α 0 ) κ 4 ( τ ) r 4 = ( α ∞ − α 4 ) ( α 0 − α 3 ) ( α 1 − α 2 ) κ 4 ( τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}r_{0}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{0})(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{1}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{1})(\alpha _{2}-\alpha _{0})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{2}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{2})(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{0}-\alpha _{4}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{3}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4})(\alpha _{1}-\alpha _{0}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{4}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{4})(\alpha _{0}-\alpha _{3})(\alpha _{1}-\alpha _{2}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\end{aligned}}}