数学において、二項関係（にこうかんけい、英: binary relation）あるいは二変数関係 (dyadic relation, 2-place relation) は、集合 A の元からなる順序対のあつまりである。別な言い方をすれば、直積集合 A2 = A × A の部分集合を、集合 A 上の二項関係と呼ぶ[1]。あるいはもっと一般に、二つの集合 A, B に対して、A と B との間の二項関係とは、直積 A × B の部分集合のことをいう[2]。

二項関係の一つの例は素数全体の成す集合 P と整数全体の成す集合 Z の間の整除関係である。この整除関係では任意の素数 p は、p の倍数である任意の整数 z に関係を持ち、倍数でない整数には関係しないものとして扱われる。例えば、素数 2 が関係を持つ整数には −4, 0, 6, 10 などが含まれるが 1 や 9 は含まれない。同様に素数 3 が関係する整数として 0, 6, 9 などが挙げられるが、4 や 13 はそうでない。

二項関係は数学のさまざまな分野で用いられ、不等関係、恒等関係、算術の整除関係、初等幾何学の合同関係、グラフ理論の隣接関係、線型代数学の直交関係などのさまざまな概念が二項関係として定式化することができる。また、写像の概念を特別な種類の二項関係として定義することもできる。二項関係は計算機科学においても重用される。

二項関係は n-項関係 R ⊆ A1 × ? × An（各 j-番目の成分が関係の j-番目の始集合 Aj からとられているような n-組からなる集合）で n = 2 とした特別の場合である。

ある種の公理的集合論では（集合の一般化としての）類の上の関係を考えることができる。このような拡張は、集合論における元の帰属関係や包含関係の概念（に限った話ではないが）のモデル化を、ラッセルの逆理のような論理矛盾に陥らずに行うために必要である。
定義

二項関係 R は通常、任意の集合（または類）X, Y とそれらの直積 X × Y の部分集合 G の順序三つ組 (X, Y, G) として定義される。このとき、集合 X および Y はそれぞれこの関係の始集合 (domain) および終集合 (codomain) と呼ばれ、G はこの関係のグラフと呼ばれ、G(R) と表すこともある。

R が関係 (X, Y, G) であるとき、(x, y) ∈ G となることを、「x は y と R-関係を持つ」などといい、x R y や R(x, y) で表す。後者は、対の集合 G の指示函数として R を見ることに対応する。

始集合 X と終集合 Y が同じ場合であっても、対の各要素の順番は重要で、a ≠ b ならば a R b および b R a はそれぞれ独立に真にも偽にもなりうる。
関係とグラフ

定義から、グラフ G がまったく同じになるような関係があっても、始集合 X や終集合 Y が異なれば、それらは相異なる別の関係である。たとえば G = {(1,2), (1,3), (2,7)} を共有する三つの関係 (Z, Z, G), (R, N, G), (N, R, G) はそれぞれ異なる関係を表す。

ただし、関係の定義に始集合 X や終集合 Y を考慮しない流儀も一般的である[2]。この場合、二項関係とは X × Y の部分集合であるグラフ G そのものをいうのに相違ない。このような立場では、対の集合{(1,2), (1,3), (2,7)} は {1, 2} を含む任意の始集合から {2, 3, 7} を含む任意の終集合への関係を表す。

この差異を、関係の特別な場合として写像の概念に適用する場合を考えよう。多くの文脈では、写像の終域と値域とを異なるものとして峻別して扱うので、ひとつの「規準」として例えば実数 x に x2 を対応させるとき、終域を実数全体 R とするか、あるいはより精密に非負の実数全体 R+ とするかによって、二つの異なる写像 f: R → R および g: R → R+ が得られる。しかし別な文脈では、写像とは単に第一成分が一意であるような順序対の集合として扱われることもある。この差異はとある自明でない問題から生じていると見ることができる。例えば、前者の立場では写像の性質として全射性を考えることができるし、一方で後者は集合を生み出す関係性として写像を捉えることができる。

この二つの異なる定義の違いが問題となるのは圏論のような極めて厳密な文脈のみであって、殆どの場面で何れの流儀であってもさほど問題となることはないし、必要に応じて適当に用語や記法を変更してやれば、関係の制限や関係の合成、逆関係といった概念を定義することができる。
例

4つの「もの」{ボール, 車, 人形, 拳銃} と4人の人間 {ジョン, メアリ, イアン, ヴィーナス} を想定する。ジョンはボールを所有し、メアリは人形を所有し、ヴィーナスは車を所有するが、誰も拳銃は所有しておらず、またイアンは何も所有していないものとする。このとき、「?は?に所有される」という二項関係は R = ({ボール, 車, 人形, 拳銃}, {ジョン, メアリ, イアン, ヴィーナス}, {(ボール, ジョン), (人形, メアリ), (車, ヴィーナス)})

によって与えられる。ここで、R の最初の成分は「もの」の集合、二番目の成分は人の集合、最後の三番目の成分は (もの, 所有者) の形の順序対からなる集合となっている。順序対 (ボール, ジョン) が R のグラフに属していることは "ボール R ジョン" と書き表され、ボールがジョンに所有されていることを示している。

二つの異なる関係がまったく同じグラフを持つことがありうる。たとえば、上の例で何も所有していなかったイアンを除外した次の関係({ボール, 車, 人形, 拳銃}, {ジョン, メアリ, ヴィーナス}, {(ボール, ジョン), (人形, メアリ), (車, ヴィーナス)})

は先ほどと異なり、全員が何かの所有者となっているが、グラフは先ほどと同じになっている。にもかかわらず, R はふつう、そのグラフ G(R) と同一視あるいはそのものとして定義され、順序対 (x, y) がグラフ G(R) に属すことをしばしば "(x, y) ∈ R" と表す。
特殊な二項関係

X と Y 上の二項関係のいくつか重要なクラスを以下に挙げる。

一意性条件:
左一意的 (left-unique)[3]
X の任意の元 x, z と Y の任意の元 y ∈ Y について、x R y かつ z R y なるときは必ず x = z となるような関係 R は左一意的あるいは単射であるという。
右一意的 (right-unique)[3]
X の任意の元 x と Y の任意の元 y, z について、x R y かつ x R z なるときは必ず y = z であるような二項関係は右一意的あるいは函数的 (functional)[注釈 1]であるという。このような関係は、部分写像とも呼ばれる。
一対一 (one-to-one)
左一意的かつ右一意的ならば、関係は一対一であるという。

全域性条件:
左全域的 (left-total)[3]
X の各元 x に対して、それぞれ x R y となるような y ∈ Y がとれるとき、 R は左全域的であるという。（この性質を単に、全域的 (total) として言及することもあるが、次節にいう完全性の意味での total とは異なる概念である）
右全域的 (right-total)[3]
Y の各元 y に対してそれぞれ x R y となるような x ∈ X がとれるとき、R は右全域的あるいは全射であるという。
対応 (correspondence)
左全域的かつ右全域的な二項関係は対応と呼ばれる。

一意かつ全域性条件:
函数関係 (function)
函数的かつ左全域的なる関係は函数関係または一意対応、あるいは単に函数もしくは写像であるという。
全単射 (bijection)
一対一かつ対応となるような関係は、写像であり、全単射または双射と呼ばれる。
集合上の関係

X = Y で二項関係の始集合 X と終集合 Y とが一致しているならば、簡単に X 上の二項関係（あるいはもう少し明示的に X 上の自己関係 (endorelation)）と呼ぶ。自己関係のいくつかのクラスについては有向グラフとしてグラフ理論において広く調べられている。

集合 X 上の二項関係全体の成す集合 B(X) は、関係をその逆関係へ写す対合を備えた対合付き半群を成す。

集合 X 上の二項関係のいくつか重要なクラスとして、以下のようなものを挙げることができる：
反射的 (reflexive)
X の各元 x について x R x が満たされる関係 R は反射的であるという。例えば「大なりイコール」"≥" は反射関係だが、「大なり」">" は反射的ではない。
非反射的 (irreflexive) あるいは狭義 (strict)
X のどの元 x についても x R x が満たされることが無いとき、R は非反射的あるいは無反射的な関係であるという。「大なり」">" は非反射的関係の例である。
余反射的 (coreflexive)
X の各元 x, y について、x R y ならば x = y が成り立つとき、R は余反射的であるという。「等しくて奇数である」という関係は余反射関係の例を与える。
対称的 (symmetric)
X の各元 x, y について、x R y ならば y R x となるような関係は対称であるという。「血縁である」という関係は対称関係である。実際、x が y の血縁であるための必要十分条件は y が x の血縁であることである。
反対称的 (antisymmetric)
X の各元 x, y について、x R y かつ y R x ならば x = y となるならば、関係 R は反対称であるという。「大なりイコール」"≥" は x ≥ y かつ y ≥ x ならば x = y ゆえ反対称関係の例を与える。
非対称 (asymmetric)
X の各元 x, y について、x R y なるときは常に y R x が成立しないような関係 R は非対称であるという。「大なり」">" は x > y ならば y > x は成立しないから非対称である。
推移的 (transitive)
X の各元 x, y, z について、x R y かつ y R z ならば x R z となるとき、関係 R は推移的であるという。「先祖である」という関係は推移的である。実際、x が y の先祖で、y が z の先祖ならば、x は z の先祖である。
完全性 (total)
X の任意の二元 x, y について、x R y または y R x の一方あるいは両方が必ず満足されるとき、R は完全であるという。全順序集合における「大なりイコール」"≥" は完全関係の例である。本節にいう total は前節の total とは意味が異なる。
三分的 (trichotomous)
X の任意の元 x, y に対して、x R y, y R x, x = y のうちの何れか一つのみが成り立つとき、R は三分的（三分法的）であるという。「大なり」">" は三分的関係の例である。
ユークリッド的 (Euclidean)
X の任意の元 x, y, z について、x R y かつ x R z が成り立てば必ず y R z かつ z?R?y が成り立つような関係 R は右ユークリッド的であるという (通常、単に「ユークリッド的関係」とされていたら「右ユークリッド的関係」を指す)。