二項分布確率質量関数

累積分布関数

色は上図と同じ
母数 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 試行回数（整数）
0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1} 成功確率（実数）
台 { 0 , ⋯ , n } {\displaystyle \{0,\cdots ,n\}}
確率質量関数 ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k {\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}
累積分布関数 I 1 − p ( n − ⌊ k ⌋ , 1 + ⌊ k ⌋ ) {\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )}
期待値 n p {\displaystyle np}
最頻値 { { ( n + 1 ) p − 1 , ( n + 1 ) p } ∩ { 0 , ⋯ , n } ((n+1)p が 整 数 の 時 ) ⌊ ( n + 1 ) p ⌋ (そ れ 以 外 ) {\displaystyle {\begin{cases}\{(n+1)p-1,(n+1)p\}\\\qquad \cap \{0,\cdots ,n\}&{\text{((n+1)p が 整 数 の 時 )}}\\\lfloor (n+1)p\rfloor &{\text{(そ れ 以 外 )}}\end{cases}}}
分散 n p ( 1 − p ) {\displaystyle np(1-p)}
歪度 1 − 2 p n p ( 1 − p ) {\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}}
尖度 1 − 6 p ( 1 − p ) n p ( 1 − p ) {\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}}
モーメント母関数 ( 1 − p + p e t ) n {\displaystyle (1-p+p\,e^{t})^{n}}
特性関数 ( 1 − p + p e i t ) n {\displaystyle (1-p+p\,e^{it})^{n}}
テンプレートを表示

数学において、二項分布（にこうぶんぷ、英: binomial distribution）は、結果が成功か失敗のいずれかである試行（ベルヌーイ試行と呼ばれる）を独立に n 回行ったときの成功回数を確率変数とする離散確率分布である。ただし、各試行における成功確率 p は一定とする。二項分布に基づく統計的有意性の検定は、二項検定と呼ばれている。目次

1 例

2 定義

3 性質

3.1 期待値・分散

3.2 モーメント

3.3 再生性


4 近似

4.1 正規分布

4.2 ポアソン分布


5 注

6 参考文献

7 関連項目

例

二項分布の典型例を次に示す。全住民の5%がある感染症に罹患しており、その全住民の中から無作為に500人を抽出する。ただし住民は500人よりずっと多いとする。このとき、抽出された集団の中に罹患者が30人以上いる確率はどれくらいだろうか。

500人のうちの感染症患者の分布は、大抵の場合は全住民のうちの患者の分布（真の分布）とおおよそ似通っていると考えられる。しかし、運が悪ければ、とても少ない確率で、選んだ500人の中にたまたま一人たりとも患者が含まれないような、真の分布とかけ離れた分布が得られる場合もある。直観的には、真の分布に近い分布が得られる確率 > 真の分布から遠い分布が得られる確率 だろう。たとえば、500人中の患者の数が500×0.05=25人である確率は、24人や26人である確率より大きいだろうと思われる。しかし、その確率は定量的にどれほどだろうか。 これを定量的に表すことのできる分布が二項分布である。

抽出された集団の中に含まれる罹患者数を確率変数 X で表すとき、X は n = 500, p = 0.05 の二項分布に近似的に従う。ここで、罹患者が30人以上いる確率は Pr[X ? 30] である。
定義

2つの母数 p (0 ? p ? 1), n（n は自然数）に対して、0 以上の整数を値としてとる確率変数 X の確率質量関数が P [ X = k ] = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k for   k = 0 , 1 , 2 , … , n {\displaystyle P[X=k]={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\quad {\mbox{for}}\ k=0,1,2,\dots ,n}

で与えられるとき、確率変数 X は母数 (n, p) の二項分布 B(n, p) に従うという。これを X ~ B(n, p) と表記する[1]。

ここで、 ( n k ) = n C k = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {n \choose k}={}_{n}\!\mathrm {C} _{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}

は n 個から k 個を選ぶ組合せの数、すなわち二項係数を表す。二項分布という名前は、この二項係数に由来している。n = 1 の場合を特に、ベルヌーイ分布と呼ぶ。

この公式は、次のように解釈することができる。1回の試行において成功する確率が p であるとき、pk は k 回成功する確率を表し、(1 − p)n−k は n − k 回失敗する確率を表している。ただし、k 回の成功は n 回の試行の中のどこかで発生したものであるから、nCk 通りの発生順序がある。したがって、n 回の独立な試行を行ったときの成功回数が k となる確率を意味する。
性質
期待値・分散

二項分布 B(n, p) に従う確率変数 X に対し、X の期待値 E[X] は E [ X ] = n p {\displaystyle E[X]=np}

であり、分散 V[X] は V [ X ] = n p ( 1 − p ) {\displaystyle V[X]=np(1-p)}

となる[2]。

X の最頻値は、(n + 1)p 以下の最大の整数となる。ただし、m = (n + 1)p が整数となるときは、m − 1 と m の双方が最頻値となる。
モーメント

二項分布 B(n, p) に従う確率変数 X の r 次モーメント E[Xr] は E [ X r ] = ∑ j = 0 r S ( r , j ) n ! ( n − j ) ! p j {\displaystyle E[X^{r}]=\sum _{j=0}^{r}S(r,j){\frac {n!}{(n-j)!}}p^{j}}

というやや複雑な表示をもつ[3]。ここで S(r, j) は第二種スターリング数。低次から E [ X 1 ] = n p , E [ X 2 ] = n p + n ( n − 1 ) p 2 , … {\displaystyle E[X^{1}]=np,\quad E[X^{2}]=np+n(n-1)p^{2},\dotsc }

となる。一方 X の r 次階乗モーメント（英語版） E[(X)r] は E [ ( X ) r ] = ( n ) r p r = n ! ( n − r ) ! p r {\displaystyle E[(X)_{r}]=(n)_{r}p^{r}={\frac {n!}{(n-r)!}}p^{r}}