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離散群
格子
整数 (Z)
格子
モジュラー群
PSL(2, Z)
SL(2, Z)
位相 / リー群
ソレノイド（英語版）
円周
一般線型 GL(n)
特殊線型 SL(n)
直交 O(n)
ユークリッド E(n)
特殊直交 SO(n)
ユニタリ U(n)
特殊ユニタリ SU(n)
斜交 Sp(n)
G2（英語版）
F4（英語版）
E6（英語版）
E7（英語版）
E8
ローレンツ
ポアンカレ
共形（英語版）
微分同相
ループ（英語版）
無限次元リー群（英語版）
O(∞)
SU(∞)
Sp(∞)
代数群
楕円曲線
線型代数群
アーベル多様体
二面体群（にめんたいぐん、英: dihedral group）とは、正多角形の対称性を表現した数学的対象である。より正確には、正多角形を自分自身に移す合同変換全体の成す群のことである。そのような合同変換は、回転と鏡映の二種類がある。二面体群は、有限非可換群の最も単純な例であり、群論、幾何学、化学などの分野において重要な役割を果たす。類似の概念は、3次元以上の正多面体や正多胞体に対しても与えることができる。「二面体」とは、正多角形を3次元空間内で見て裏表の区別を付けたもの、といった意味合いである。
定義
群の元正六角形は6つの軸に対して線対称である
正 n 角形は 2n 通りの合同変換で不変である。内訳は、n 通りの回転と n 通りの鏡映である。これらが二面体群を構成する元である。n 通りの回転とは、θ = 360°/n に対して θ の回転、2 × θ の回転、…、n × θ の回転の n 個である。最後のものは 360°の回転であるから、何もしないのと同等であり、これが二面体群の単位元である。鏡映の方は、n が偶数か奇数かによって多少状況が異なるが、いずれにせよ、正 n 角形は n 個の対称軸に関して線対称である。実際、n が奇数のときには、対称軸として、ひとつの頂点と向かい合う辺の中点を結んだ直線が n 本取れる。n が偶数のときには、正 n 角形の対称軸として、向かい合う頂点を結んだ直線が n/2 本、向かい合う辺の中点を結んだ直線が n/2 本の合計 n 本が取れる。これら n 本の軸に関する対称移動と、n 個の回転を合わせた 2n 個の合同変換の集合を Dn あるいは Dihn と書く。
