クラインの四元群(英: four-group, 独: Vierergruppe)とは異なります。
数学において、一般四元数群[1][2][3](いっぱんしげんすうぐん、英: generalized quaternion group)とは、四元数群 Q 8 = { ± 1 , ± i , ± j , ± k } {\displaystyle Q_{8}=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}}
を一般化した有限群のこと。これは Q 4 m = ⟨ a , b ∣ a 2 m = 1 , b 2 = a m , b − 1 a b = a − 1 ⟩ ( m > 1 ) {\displaystyle Q_{4m}=\langle \,a,b\mid a^{2m}=1,\ b^{2}=a^{m},\ b^{-1}ab=a^{-1}\,\rangle \qquad (m>1)}
という表示で定義される[4][5]、位数 4m で、位数が 2 である部分群( Z ( Q 4 m ) = ⟨ a m ⟩ {\displaystyle Z(Q_{4m})=\langle a^{m}\rangle } )を唯一つ持つ群である[6]。(2群の場合しか考えないこともある[2][7][1]。この場合、位数 2n の一般四元数群を Qn と書く流儀もあり[1]、注意が必要である。)群の生成元を a ↦ [ e π i / m 0 0 e − π i / m ] , b ↦ [ 0 1 − 1 0 ] {\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}e^{\pi i/m}&0\\0&e^{-\pi i/m}\end{bmatrix}},\quad b\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}
のように対応させることで、忠実な行列表現を得ることができる。 四元数群(しげんすうぐん、英: quaternion group)は Q 8 = ⟨ i , j , k ∣ i 2 = j 2 = k 2 = i j k ⟩ {\displaystyle Q_{8}=\langle \,i,j,k\mid i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk\,\rangle } という表示で定義される[8]。これは位数 8 の非可換群で、すべての真部分群は巡回的である。元 ijk ∈ Q8 は唯一つの対合で中心的であり、 −1 と書かれることも多い。これらの記号はハミルトンの四元数環の生成系に由来する。群の生成元を i ↦ [ − 1 0 0 − − 1 ] , j ↦ [ 0 1 − 1 0 ] , k ↦ [ 0 − 1 − 1 0 ] {\displaystyle i\mapsto {\begin{bmatrix}{\sqrt {-1}}&0\\0&-{\sqrt {-1}}\end{bmatrix}},\quad j\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}},\quad k\mapsto {\begin{bmatrix}0&{\sqrt {-1}}\\{\sqrt {-1}}&0\end{bmatrix}}} のように対応させることで、忠実な行列表現を得ることができる。四元数群はハミルトン群 有限群 G の持つシロー 2 部分群が一般四元数群と同型ならば最大の奇数位数正規部部分群 O(G) による商 G/O(G) の中心は位数 2 である[10]。特に、このような有限群 G は決して単純群でない。
四元数群
ブラウアー・鈴木の定理
脚注^ a b c 森 1975, p. 63.
^ a b 岩波数学辞典 2007, p. 1530.
^ 近藤 (1991, p. 31)は「4元数型の群」、鈴木 (1977, p. 255)は「4元数形の2群」という言い方をしている。
^ ATLAS 1985, p. xx.
^ 「2重巡回群」(英: dicyclic group)と呼ばれることもある (アームストロング 2007, p. 195)。
^ 近藤 1991, pp. 31, 382.
^ 鈴木 1977, p. 255.
^ 一般四元数群の対応する表示は Q 4 m = ⟨ i , j , k ∣ i m = j 2 = k 2 = i j k ⟩ {\displaystyle Q_{4m}=\langle \,i,j,k\mid i^{m}=j^{2}=k^{2}=ijk\,\rangle } である (Groupprops)。
^ Weinstein 1977.
^ Michler 2006, p. 265