二次方程式（にじほうていしき、英: quadratic equation[注釈 1]）とは、数学において、二次の多項式関数の零点集合を表す条件のことである。

その零点集合については、特に実数係数であるものについて、幾何学的考察が歴史的に行われ、よく知られている（二元二次方程式については円錐曲線を、一般の多変数二次方程式については二次曲面を参照するとよい）。

以下では、未知数が1個の場合を中心に取り扱う。二次方程式は次数が 2 の代数方程式のことであり、一般に未知数を x として a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad (a\neq 0)}

の形で表される。二次方程式を解くには、二次方程式の解の公式が知られている他、平方完成を利用する方法、因数分解を利用する方法などがよく知られている。

一元二次方程式を解くことと同値である問題に対する解法は、紀元前20世紀ごろには既に知られていた。
定義

二次方程式とは、次数 2 の代数方程式のことである。一般には a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} (*)

（a ≠ 0, b, c は定数）と表される。これを二次方程式の一般形 (generalized form) という。二次方程式の一般形は、方程式としての変形や変数変換により、いくつかの特徴をもつ特殊な形にできる。本項では便宜的に以下の用語を用いる。

一般形の方程式 (*) の両辺を 2 次の係数（最高次係数）a ≠ 0 で割って 1 にすることができる。これを二次の整方程式あるいは二次方程式の正規形 (normal form) と呼ぶ： x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} (**)

（p, q は定数） p = b a ,   q = c a {\displaystyle p={\frac {b}{a}},\ q={\frac {c}{a}}} (***)

また、左辺が完全平方式と定数の和のみになっている方程式を、二次方程式の標準形 (standard form) と呼ぶ： a ( x + p ) 2 + q = 0 {\displaystyle a(x+p)^{2}+q=0} （a ≠ 0, p, q は定数）

これは、変数を t = x + p と変換すれば未知数 t に関する 1 次の項が無い方程式である：at2 + q = 0
歴史

アッバース朝時代に活躍した中世イスラムの数学者フワーリズミーは二次方程式に2つの解があることを発見した。フワーリズミーの著作『インドの数に関して、アル＝フワーリズミー』（ラテン語訳『アルゴリトミ・デ・ヌーメロ・インドルム (Algoritmi de numero Indorum)』）はラテン語に翻訳され、ヨーロッパに伝わった。フワーリズミーは二次方程式における未知数を「shay'」（シャイ＝とあるもの）という言葉で表現したが、フワーリズミーの著作がヨーロッパに伝えられる段階で、「x」を「sh（シ）」と読むポルトガル語を通過する際に、shay'の「sh」が「x」に置き換えられたといわれる。未知なるものを「x」と呼ぶことには、このような背景があるとされる[1]。
平方完成詳細は「平方完成」を参照

変数 x に関する二次式 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} について、変数変換x + α = y

して、1 次の項を消去することを平方完成（基本変形）という。これにより、二次式の正規形 (**) は標準形にすることができる。

係数体の標数が 2 でなければ、平方完成できる。

二次式の正規形 (**) を標準形にする： x 2 + p x + q = ( x + α ) 2 + β {\displaystyle x^{2}+px+q=(x+\alpha )^{2}+\beta }

1次の係数を比較すると、 ( x + α ) 2 = x 2 + 2 α x + α 2 {\displaystyle (x+\alpha )^{2}=x^{2}+2\alpha x+\alpha ^{2}} より、 α = p 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {p}{2}}}

が導かれる。 x 2 + p x = ( x + p 2 ) 2 − ( p 2 ) 2 {\displaystyle x^{2}+px=\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}}

より、 x 2 + p x + q = ( x + p 2 ) 2 − ( p 2 4 − q ) {\displaystyle x^{2}+px+q=\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p^{2}}{4}}-q\right)}

y = x + p 2 , m = p 2 4 − q {\displaystyle y=x+{\frac {p}{2}},m={\frac {p^{2}}{4}}-q} と置いてやると x 2 + p x + q = 0 ⟺ y 2 − m = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0\iff y^{2}-m=0}

となり、変数 y に関する標準形の方程式が得られる。

平方完成の技法は、この他にも、円錐曲線の標準化などに用いられる。
二次方程式の解

正規化された標準形二次方程式x2 − m = 0

はx2 = m

と同値であるから、解は m の平方根に等しい。平方根は 0 以外は複数あり、実数なら正の方を √m で表す。このとき解は x = ± m {\displaystyle x=\pm {\sqrt {m}}}

になる。

m が負ならば、解 ±√m は虚数である。これらを統一的に表すために、√−1 を i と表し、虚数単位という。虚数単位 i は x2 + 1 の根である。

a > 0 のとき、√−a = √a i

解の公式詳細は「二次方程式の解の公式」を参照

平方完成により、二次方程式の解の公式を導出することができる。これは、標数 2 でない体で一般に通用する。

二次方程式 ax2 + bx + c = 0 に対し、 a ( x + b 2 a ) 2 + c − b 2 4 a = 0 ⟺ ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 ⟺ x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c 2 a ⟺ x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{\!2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}=0&\iff \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\&\iff x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\\&\iff x={\cfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}