二次方程式の解の公式（にじほうていしきのかいのこうしき）とは、未知数が一つの二次方程式の解を、式の係数を代入することにより求めることができる公式である。
概要二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad (a\neq 0)} の解は x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

二次方程式の解の公式の導出には平方完成が行われるが、他の方法として、因数分解などがある。

逆に、因数分解が困難な二次式は、二次方程式の解の公式から因数定理により因数分解することができる。

歴史的には、二次方程式の問題としての提起は紀元前300年のユークリッド（古代ギリシア）やそれ以前にさかのぼるが、負の数は17世紀まで認められなかったため、負の数を回避した形式であった。現在我々が知っている形の二次方程式の解の公式が書物に登場するのは、ルネ・デカルトの1637年に出版された "La Geometrie（英語版）" である。
解の公式の導出

二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad (a\neq 0)}

を解くのは、一次の項「 + b x {\displaystyle +\;\!\;\!bx} 」があるのとないので難易度が大きく変わる。

一次の項「 + b x {\displaystyle +\;\!\;\!bx} 」が無ければ、 a x 2 + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+c=0\quad (a\neq 0)}

を x 2 {\displaystyle x^{2}} について解くことにより、 x 2 = − c a {\displaystyle x^{2}=-{\frac {c}{a}}}

解 x {\displaystyle x} は −.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}c/a の平方根であると分かる。

一次の項「 + b x {\displaystyle +\;\!\;\!bx} 」がある場合、平方完成により一次の項が無い形に帰着できる[1](p. 291, Chapter 13 §4.4)[2]:56[3]:178[4]:81。 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad (a\neq 0)}

の両辺を a で割る： x 2 + b a x + c a = 0 {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}

+c/a を移項する： x 2 + b a x = − c a {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}}

左辺を平方完成するために、両辺に ( b 2 a ) 2 {\displaystyle \left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}} を加える。 ( x + b 2 a ) 2 = − c a + b 2 4 a 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\\&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\end{aligned}}}

両辺の平方根をとる。ここで a の符号は正の場合と負の場合があるが、どちらでも次の等式が成り立つ： x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}

+b/2a を移項して解が得られる： x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} [5]:219