数学における二次形式（にじけいしき、英: quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。例えば、変数が 2 個の二次形式は a x 2 + b x y + c y 2 {\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}
の形である。
x, y は変数。係数 a, b, c は内少なくとも 1 つは 0 でない。すなわち二次形式は非零多項式である。
二次形式は数学のいろいろな分野（数論、線型代数学、群論（直交群）、微分幾何学（リーマン計量）、微分位相幾何学（4次元多様体の交叉形式）、リー理論
（英語版）（キリング形式）など）で中心的な位置を占める概念である。二次形式は n-変数の斉二次多項式である。たとえば、変数の数が 1, 2, 3 の二次形式はそれぞれ一元 (unary) 、二元
（英語版） (binary) 、三元 (ternary) 二次形式と呼ばれ、具体的にはそれぞれという形をしている。ここで、a から f まではこの二次形式の係数である[注釈 1]。一般の二次函数 ax2 + bx + c は斉次形でないため、二次形式の例とはならないことに注意。
二次形式論およびその研究手法は（実数、複素数、有理数、整数などといった）二次形式の係数のもつ性質に大きく依存する。線型代数学や解析幾何学および二次形式の応用の大部分では係数は実または複素数である。二次形式の代数的理論においてはその係数はなんらかの体であり、二次形式の算術理論においては係数はある種の可換環である（有理整数環 Z や p-進整数環 Zp がよく用いられる）[注釈 2]。二元二次形式は数論において広く研究されており、とくに二次体の理論、連分数、モジュラー形式論などに現れる。n-変数の整係数二次形式は代数的位相幾何学に重要な応用を持つ。
斉次座標を用いれば、0 でない (n + 1)-元二次形式は n-次元射影空間内の (n − 1)-次元二次曲面を定める。これは射影幾何学の基本的構成である。この方法で、三元実二次形式を円錐曲線として視覚化することができる。
二次形式に深く関係した、より幾何学的な色合いの濃い概念に、二次空間 (quadratic space) がある。これは、体 k 上のベクトル空間 V と V 上の二次形式 q: V → k の組 (V, q) である。二次空間の例としては、三次元ユークリッド空間 E3 に（各点 (x, y, z) と原点との間の）通常の距離（ユークリッドノルム）の平方 q ( x , y , z ) = d ( ( x , y , z ) , ( 0 , 0 , 0 ) ) 2 = ‖ ( x , y , z ) ‖ 2 = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle {\begin{aligned}q(x,y,z)&=d{\bigl (}(x,y,z),(0,0,0){\bigr )}^{2}\\&={\bigl \Vert }(x,y,z){\bigr \Vert }^{2}\\&=x^{2}+y^{2}+z^{2}\end{aligned}}}
を合わせたものが挙げられる。逆に二次空間に付随する二次形式は、その空間に計量を与えるものと理解される。 特定の二次形式の研究（特に、与えられた整数が整係数二次形式の値として得られるかといったような問題）は何世紀も遡れるものである。そういったものの一つに「どのような整数が整数 x, y の平方和 x2 + y2 の形に表されるか」というフェルマーの二平方和定理がある。この問題は、ピタゴラス数を求める問題に関係しており、こちらは紀元前2千年紀には既に存在していた問題である[1]。 628年にインドの数学者ブラーマグプタの著した『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』には、その他の多くの問題とともに、x2 − ny2 = c の形の方程式の研究が含まれている。ブラーマグプタは特に、今日ではペル方程式と呼ばれる x2 − ny2 = 1 の形の方程式を考え、多くの解法を得ている[2]。ヨーロッパでは、この問題にブラウンカー、 オイラー、ラグランジュらが取り組んだ。 1801年にガウスの著した『算術研究』では、整係数二元二次形式についての完全な理論の解説にかなりの紙面が割かれていた。その後、概念は一般化され、二次体やモジュラー群などと結び付けられて、数学のさまざまな分野を通してより深い解明がなされた。 任意の n-次実対称行列 A に対して、n-元二次形式 qA が q A ( x 1 , … , x n ) = ∑ i , j = 1 n a i j x i x j {\displaystyle q_{A}(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}} によって与えられる。逆に、n-元二次形式が与えられたとき、その係数を並べて n-次の対称行列が得られる。二次形式論における最も重要な問いは、変数の斉次線型変換によって二次形式 q がどの程度まで簡約できるかということである。ヤコビによる基本定理は任意の二次形式 q が対角線形式 (diagonal form) λ 1 x ~ 1 2 + λ 2 x ~ 2 2 + ⋯ + λ n x ~ n 2 {\displaystyle \lambda _{1}{{\tilde {x}}_{1}}^{2}+\lambda _{2}{{\tilde {x}}_{2}}^{2}+\dotsb +\lambda _{n}{{\tilde {x}}_{n}}^{2}} に直せることを注意している。ゆえに対応する対称行列は対角行列であり、これは直交行列による変数変換で実現できる。この場合、係数 λ1, λ2, …, λn は実は番号の並べ替えの違いを除いて一意に決まる。変数変換が（必ずしも直交でない）正則行列によって与えられるならば係数 λi を 0, 1, −1 の何れかにすることができる。シルベスターの慣性法則 によれば 1 および −1 の数は（どんな対角化によっても変わらないという意味で）二次形式の不変量である（1 の数を p, −1 の数を q とするとき、組 (p, q) を二次形式の符号数 (signature) という）。
歴史
実二次形式「シルベスターの慣性法則」および「定符号二次形式」も参照