二次体 (にじたい、英: quadratic field) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 d を用いて、 Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} と表現される。もし、d > 0 である場合、実二次体 (real quadratic field)、d < 0 の場合、虚二次体 (imaginary quadratic field) という。
性質
体論・環論

任意の二次体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は巡回群となる。

その整数環がノルムユークリッド整域となる二次体 Q ( d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} は、d = −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 だけである。

その整数環が一意分解整域となる虚二次体 Q ( d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} は、d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 だけである。

任意の二次体 K に対して、有理素数[1] p は、以下のいずれかを満たす。

( p ) = p 1 p 2 {\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}_{1}{\mathfrak {p}}_{2}} ( p 1 ,   p 2 {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ {\mathfrak {p}}_{2}} は、相異なる K の素イデアル)。　(このとき、p は、K で完全分解であるという。)

( p ) = p 2 {\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}^{2}} ( p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} は、K の素イデアル)。　(このとき、p は、K で不分解であるという。)

( p ) {\displaystyle (p)} は、K の素イデアルである。　(このとき、p は、K で不分岐であるという。)

二次体の判別式

二次体 Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} の判別式を D としたとき、
D = { d ( d ≡ 1 mod 4 ) , 4 d ( d ≡ 2 , 3 mod 4 ) . {\displaystyle D={\begin{cases}d&(d\equiv 1\mod 4),\\4d&(d\equiv 2,3\mod 4).\end{cases}}}

従って、d ≡ 1 (mod 4) のときは、 { 1 ,   ( 1 + d ) / 2 } {\displaystyle \scriptstyle \{1,\ (1+{\sqrt {d}})/2\}} 、それ以外のときは、 { 1 ,   d } {\displaystyle \scriptstyle \{1,\ {\sqrt {d}}\}} が、 Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} の整基底となる。
二次体の単数

EK を、二次体 K = Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} の単数群としたとき、

d = − 1 のとき：EK = { ± 1, ± i } 。

d = −3 のとき：EK = { ± 1, ± ω, ± ω2 } 　(ω = (− 1 + √− 3)/2) 。

d < 0 かつ、d ≠ − 1, − 3 のとき：EK = { ± 1 } 。

d > 0 のとき： E K = { ± ε 0 n 。 n = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   … } {\displaystyle \scriptstyle E_{K}=\{\pm \varepsilon _{0}^{n}|n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \ldots \}} 　(ε0 は基本単数)。


D を、二次体 K = Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} の判別式とし、自然数 x*, y* を、
x2 − Dy2 = ± 4[2][3]の最小の有理整数解としたとき、(x* + y*√D)/2 は、K の基本単数である。

d ≤ 14 {\displaystyle \scriptstyle d\leq 14} に対する基本単数

d2356710111314

基本単数

1 + 2 {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}

2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}

( 1 + 5 ) / 2 {\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}

5 + 2 6 {\displaystyle 5+2{\sqrt {6}}}

8 + 3 7 {\displaystyle 8+3{\sqrt {7}}}

3 + 10 {\displaystyle 3+{\sqrt {10}}}

10 + 3 11 {\displaystyle 10+3{\sqrt {11}}}

( 3 + 13 ) / 2 {\displaystyle (3+{\sqrt {13}})/2}

15 + 4 14 {\displaystyle 15+4{\sqrt {14}}}

二次体と円分体

任意の二次体 K に対して、ある整数 n が存在して、 K ⊂ Q ( ζ n ) {\displaystyle \scriptstyle K\subset \mathbb {Q} (\zeta _{n})} 。ここで、 ζ n {\displaystyle \zeta _{n}} は、1 の原始 n 乗根である[4]。
特に、n = 2q (q ≥ 3) とすれば、円分体 Q ( ζ n ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})} には、 Q ( − 1 ) ,   Q ( 2 ) ,   Q ( − 2 ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-1}}),\ \mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),\ \mathbb {Q} ({\sqrt {-2}})} が含まれる。

上記のことは、クロネッカー＝ウェーバーの定理の特別な場合である。さらに、基礎体を有理数体ではなく、虚二次体にしたときに同様なことが言えるかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢(の特別な場合)である。

二次体と初等整数論

二次体と初等整数論との関係を述べる。
平方剰余の相互法則

( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} をルジャンドル記号とすると、次が成立する。

平方因子を持たない素数 a と、2a と互いに素な素数 p に対して、
( a p ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=1} ⟺ {\displaystyle \Longleftrightarrow } ( p ) {\displaystyle (p)} は、 Q ( a ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})} 上で、相異なる2つの素イデアルの積で表される。

このことから、二次体上で、どの様な素数が2つの素イデアルで分解されるかを考察することで、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示すことができる。

二次形式

有理整数係数の二元二次形式の類数を H(D) (D は、二次形式の判別式) とし、二次体 K = Q ( D ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})} の(代数体としての)類数を、hK とすると、H(D) = hK である。つまり、有理整数係数の二元二次形式の類と、二次形式の判別式で作られる二次体のイデアル類とは、一対一の対応を付けることができる。
二次体の類数
ディリクレの類数公式