二十一角形（にじゅういちかくけい、にじゅういちかっけい、icosihenagon）は、多角形の一つで、21本の辺と21個の頂点を持つ図形である。内角の和は3420°、対角線の本数は189本である。 正二十一角形においては、中心角と外角は17.142…°で、内角は162.857…°となる。一辺の長さが a の正二十一角形の面積 S は S = 21 4 a 2 cot π 21 ≃ 34.83147 a 2 {\displaystyle S={\frac {21}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{21}}\simeq 34.83147a^{2}} cos ( 2 π / 21 ) {\displaystyle \cos(2\pi /21)} を平方根と立方根で表すことが可能である。 cos 2 π 21 = cos ( 2 π 3 − 4 π 7 ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}=\cos \left({\frac {2\pi }{3}}-{\frac {4\pi }{7}}\right)} Trigonometric constants expressed in real radicals
正二十一角形
Σcos(2kπ/(2n+1))=-1/2の関係式から 2 cos 2 π 21 + 2 cos 4 π 21 + 2 cos 6 π 21 + 2 cos 8 π 21 + 2 cos 10 π 21 + 2 cos 12 π 21 + 2 cos 14 π 21 + 2 cos 16 π 21 + 2 cos 18 π 21 + 2 cos 20 π 21 = − 1 {\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{21}}+2\cos {\frac {4\pi }{21}}+2\cos {\frac {6\pi }{21}}+2\cos {\frac {8\pi }{21}}+2\cos {\frac {10\pi }{21}}+2\cos {\frac {12\pi }{21}}+2\cos {\frac {14\pi }{21}}+2\cos {\frac {16\pi }{21}}+2\cos {\frac {18\pi }{21}}+2\cos {\frac {20\pi }{21}}=-1}
ここで、以下の関係式を使って 2 cos 14 π 21 = 2 cos 2 π 3 = − 1 2 cos 6 π 21 + 2 cos 12 π 21 + 2 cos 18 π 21 = 2 cos 2 π 7 + 2 cos 4 π 7 + 2 cos 6 π 7 = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {14\pi }{21}}=2\cos {\frac {2\pi }{3}}=-1\,\\&2\cos {\frac {6\pi }{21}}+2\cos {\frac {12\pi }{21}}+2\cos {\frac {18\pi }{21}}=2\cos {\frac {2\pi }{7}}+2\cos {\frac {4\pi }{7}}+2\cos {\frac {6\pi }{7}}=-1\\\end{aligned}}}
整理すると 2 cos 2 π 21 + 2 cos 4 π 21 + 2 cos 8 π 21 + 2 cos 10 π 21 + 2 cos 16 π 21 + 2 cos 20 π 21 = 1 {\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{21}}+2\cos {\frac {4\pi }{21}}+2\cos {\frac {8\pi }{21}}+2\cos {\frac {10\pi }{21}}+2\cos {\frac {16\pi }{21}}+2\cos {\frac {20\pi }{21}}=1}
以下のように定義すると α = 2 cos 2 π 21 + 2 cos 8 π 21 + 2 cos 10 π 21 β = 2 cos 4 π 21 + 2 cos 16 π 21 + 2 cos 20 π 21 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{21}}+2\cos {\frac {8\pi }{21}}+2\cos {\frac {10\pi }{21}}\\&\beta =2\cos {\frac {4\pi }{21}}+2\cos {\frac {16\pi }{21}}+2\cos {\frac {20\pi }{21}}\end{aligned}}}
以下の値が求められる。 α + β = 1 ( α − β ) 2 = 21 α − β = 21 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta =1\,\\&(\alpha -\beta )^{2}=21\\&\alpha -\beta ={\sqrt {21}}\\\end{aligned}}}
解と係数の関係を求め、三次方程式を解くことにより cos ( 2 π / 21 ) {\displaystyle \cos(2\pi /21)} が求められる。 正二十一角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。 正二十一角形は折紙により作図可能である。
正二十一角形の作図
脚注[脚注の使い方]
関連項目
七角形
十四角形
外部リンク.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}ポータル 数学
