二個の平方数の和（にこのへいほうすうのわ）は「平方数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られている[1]ものであるが呼びかたが定まっておらず、フェルマーの4n+1定理[2]、フェルマーの二平方定理、あるいは単にフェルマーの定理（フェルマーの最終定理とは異なる）などと呼ばれる。

4を法として1に合同な素数は二個の平方数の和で表される。

定理 ― 奇素数 p が整数 x と y を用いて、 p = x 2 + y 2 {\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}

と表されるのは、 p ≡ 1 ( mod 4 ) . {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}.}

の時に限る。また、逆も成り立つ。そして、この分解は一意的である。

合成数が高々二個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、4を法として3に合同な素因数が全て平方（冪指数が偶数）になっていることである。この定理は、フェルマーによって提起され、オイラーによって解決された。

具体的に4を法として1に合同な素数とは 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, ⋯ {\displaystyle \cdots } (オンライン整数列大辞典の数列 A002144)
証明
素数についての証明

平方剰余の相互法則の補充法則により、 p ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 1\;(\operatorname {mod} \;4)} であれば r 2 ≡ − 1 ( mod p ) {\displaystyle r^{2}\equiv -1\;(\operatorname {mod} \;p)}

となる自然数 r {\displaystyle r} が存在する。 0 ≤ x i , y i < p {\displaystyle 0\leq {x_{i},y_{i}}<{\sqrt {p}}} とすると ( x i , y i ) {\displaystyle (x_{i},y_{i})} の組み合せの個数は ( ⌊ p ⌋ + 1 ) 2 > p {\displaystyle (\lfloor {\sqrt {p}}\rfloor +1)^{2}>p} である。従って、 ( x 1 , y 1 ) ≠ ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})} で x 1 − r y 1 ≡ x 2 − r y 2 ( mod p ) {\displaystyle {x_{1}-ry_{1}}\equiv {x_{2}-ry_{2}}\;(\operatorname {mod} \;p)}

となるものが存在する。 x = 。 x 1 − x 2 。 , y = 。 y 1 − y 2 。 {\displaystyle x=|x_{1}-x_{2}|,y=|y_{1}-y_{2}|} とすると x 2 ≡ r 2 y 2 ≡ − y 2 ( mod p ) x 2 + y 2 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{x^{2}}\equiv {r^{2}y^{2}}\equiv {-y^{2}}\;(\operatorname {mod} \;p)\\&{x^{2}+y^{2}}\equiv 0\;(\operatorname {mod} \;p)\end{aligned}}}

である。 x , y < p {\displaystyle x,y<{\sqrt {p}}} であるから 0 < x 2 + y 2 < 2 p {\displaystyle 0<x^{2}+y^{2}<2p}

であり、故に x 2 + y 2 = p {\displaystyle x^{2}+y^{2}=p}

である。
合成数についての証明

p = x 2 + y 2 , q = x ′ 2 + y ′ 2 {\displaystyle p=x^{2}+y^{2},q=x'^{2}+y'^{2}} であれば 2 p = 2 ( x 2 + y 2 ) = ( x − y ) 2 + ( x + y ) 2 p q = ( x 2 + y 2 ) ( x ′ 2 + y ′ 2 ) = ( x x ′ − y y ′ ) 2 + ( x y ′ + y x ′ ) 2 r 2 p = r 2 ( x 2 + y 2 ) = ( r x ) 2 + ( r y ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&2p=2(x^{2}+y^{2})=(x-y)^{2}+(x+y)^{2}\\&pq=(x^{2}+y^{2})(x'^{2}+y'^{2})=(xx'-yy')^{2}+(xy'+yx')^{2}\\&r^{2}p=r^{2}(x^{2}+y^{2})=(rx)^{2}+(ry)^{2}\\\end{aligned}}}

であるから、十分条件については明らかである。必要条件については A = x 2 + y 2 {\displaystyle A=x^{2}+y^{2}} が p ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 3\;(\operatorname {mod} \;4)} の形の素因数を持つと仮定して矛盾を導く（背理法）。 p 。 a {\displaystyle p|a} であれば A = p a = x 2 + y 2 {\displaystyle A=pa=x^{2}+y^{2}}

と書ける。ここで p 。 x {\displaystyle p|x} であれば必然的に p 。 y {\displaystyle p|y} であり、 p 2 。 A {\displaystyle p^{2}|A} であるから両辺を p 2 {\displaystyle p^{2}} で除するものとする。 p ⧸ 。 x {\displaystyle p\not |x} であれば x x − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle xx^{-1}\equiv 1\;(\operatorname {mod} \;p)} となる x − 1 {\displaystyle x^{-1}} が存在する。両辺に ( x − 1 ) 2 {\displaystyle (x^{-1})^{2}} を乗すると p a ( x − 1 ) 2 = 1 + ( y x − 1 ) 2 0 ≡ 1 + ( y x − 1 ) 2 ( mod p ) − 1 ≡ ( y x − 1 ) 2 ( mod p ) {\displaystyle {\begin{aligned}&pa(x^{-1})^{2}=1+(yx^{-1})^{2}\\&0\equiv {1+(yx^{-1})^{2}}\;(\operatorname {mod} \;p)\\&-1\equiv {(yx^{-1})^{2}}\;(\operatorname {mod} \;p)\\\end{aligned}}}