この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方)
出典検索?: "中間値の定理"
中間値の定理(ちゅうかんちのていり、英: intermediate value theorem)とは、実数の区間の連結性に関する以下のような存在型の定理である。
中間値の定理 ― 実数直線 R の閉区間 I = [a, b] 上で定義される連続な実数値関数 f が f(a) < f(b) を満たすとき、閉区間 [f(a), f(b)] 内の任意の点 γ に対して、γ = f(c) となる I 内の点 c が存在する。
この「明らか」な定理の証明を与えたのはボルツァーノである[1]。 直感的には、平面上に異なる2点をとり、この2点を結ぶ連続な曲線を描く。そしてこの2点の位置関係が互いに反対側になるように直線を引いたとき、その曲線と直線とがどこかで必ず交点を持つ、ということに相当している。 ある種自明のように思われるが、これは実数の閉区間が連結であり、その連続像が再び閉区間したがって連結となること(一般に連結な位相空間の連続写像による像はやはり連結である)から成り立つ定理である。 なお、「任意の閉区間が連結である」ことと「実数の連続性が成立する」ことは同値であり(例えば、有理数体上では[a, b]は連結でない)、中間値の定理自体も結局は実数の連続性と同値である[注 1]。 中間値の定理のある種の逆、つまり任意の中間値をとる関数は連続である、は成り立たないことがダルブーにより示されている[2]。 また、より一般に、連結空間上の実数値連続関数について以下のことが成り立ち、これも中間値の定理と呼ばれる[3]。 中間値の定理 ― 連結空間 S 上で定義された実連続関数 f : S → R の、S の2点 x1, x2 における値を f (x1) = α, f (x2) = β とすると、α < γ < β を満たす任意の実数 γ について f (x) = γ を満たす点 x ∈ S が存在する。 この連結空間 S を実数の有界閉区間 [a, b] に、2点 x1, x2 をその両端点 a, b に限定すると冒頭に述べた主張が得られる。 #概要に述べた一般化された定理について証明する。必要な事実は ということだけである(この事実はここでは認めて話を進めることにする)。証明[4] 連結空間 S 上の実連続関数 f : S → R による像 f (S) は実数直線 R の連結部分集合である。S の2点 x1, x2 における値を f (x1) = α, f (x2) = β とすると、α ∈ f (S) および β ∈ f (S) である。ここで、α < β とする[注 2]と α < γ < β である実数 γ は必ず f (S) に含まれることを背理法によって示そう。すなわち、以下では α < γ < β である実数 γ であって f (S) に含まれないものが存在すると仮定して矛盾を導く。 背理法のためにおいた仮定から、R の開集合 (−∞, γ) と (γ, ∞) は
概要
証明
連結空間の連続像は連結である
f (S) ⊂ (−∞, γ) ∪ (γ, ∞) = R ∖ {γ}
f (S) ∩ (−∞, γ) ∩ (γ, ∞) = ∅
α ∈ f (S) ∩ (−∞, γ) ≠ ∅
β ∈ f (S) ∩ (γ, ∞) ≠ ∅