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中点連結定理(ちゅうてんれんけつていり、英: midpoint theorem, midpoint connector theorem)とは、平面幾何の定理の一つ。 三角形の底辺を除く2 辺のそれぞれの中点を結んだ線分「中点連結」は、底辺と平行であり、長さは底辺の半分に等しい[1][2][3]。また、相似比が1:2の相似な三角形ができる[2][3][4]。 三角形 ABC について、辺 AB の中点を M, 辺 AC の中点を N とする。このとき、三角形 ABC の中点連結MN は、底辺BC と平行であり、かつ 中点連結MN の長さを 2 倍すると、底辺BC の長さに等しくなることを示し、中点連結定理が成り立つことを証明する。補助点Dは?AMCDと?MBCDを形成する。 証明 — 線分 MN の延長上に、補助点 D をとって、 MN = ND とする。ここで、MN = ND, AN = NC であり、四角形 AMCD の対角線は各々の中点 N で交わることから、平行四辺形AMCDが成立する。平行四辺形の定義より AM ∥ CD、平行四辺形の対辺の性質より AM = CD が明らかになる。ところが、M は 辺AB の中点であることから AM = MB であることを用いると、MB= CD となり、MB ∥ CD とから、一組の対辺が平行かつ等長であることから 平行四辺形 MBCD が成立する。平行四辺形の定義より、他方の辺の組についても互いに平行であること MD ∥ BC から MN ∥ BC が成り立つ。また、平行四辺形 MBCD の対辺の性質から、 MD = BC が示され、補助点 D の設定より、MN = ND より 2MN =BC が成り立つから、底辺 BC と、中点連結 MN について中点連結定理が示された。 なお、国内の中学校で用いられている教科書の多くで、図形の相似 の単元の中で、三角形ABC と 三角形AMN が相似であることを用いた証明の記述がある[5]。これは、学習課程の便宜から、証明として用いられている方法であり、相似の性質を利用して示す特殊な例として扱われている。これは中学数学において、相似な図形に関する知識を、小学算数の拡大・縮小 中点連結定理は、三角形の2つの性質を含んでいる。即ち、 の両方をまとめて指す定理である。従ってその逆は、それぞれの結論と仮定の一部を入れ替えて、 となるが、このうち b. の内容は、反例を示すことで、容易に否定的に証明される。このことから、一般に中点連結定理の逆と呼ばれる定理は、a. の内容であり、より簡単に「三角形の底辺を除く一辺の中点から、底辺の平行線を引くと、残りの辺の中点を通る」と表現される。この内容は真である。三角形 ABC において、辺 AB の中点 M から引いた底辺 BC の平行線と、残りの辺 AC との交点を N とするとき、点 N は辺 AC の中点となることを示そう。 証明 — 線分 MN の延長上に、MD = BC となる点 D をとる。四角形 MBCD は、一組の対辺 MD, BC が平行かつ等長であることから、平行四辺形である。よって AB ∥ CD であり、また CD = MB と AM = MB とから AM = CD。一組の対辺 AM, CD が平行かつ等長であることから、四角形 AMCD は平行四辺形。平行四辺形 AMCD の対角線は中点で交わることから、AN = NC。 また、これとは別に、中点連結定理の2つの結論の両方を仮定に盛り込んだ「三角形の、底辺を除く 2 辺の上に端点を持つ線分が、底辺と平行かつ長さがその辺の半分となるとき、その線分の端点は各辺の中点になる」の内容も真であり、これを中点連結定理の逆と呼んで、定理の一つとして扱うことがある。 三角形 ABC において、辺 AB 上の点 M と辺 AC 上の点 N を結ぶ線分MNが、底辺 BC と平行で、かつ長さが半分であるとき、線分 MN は中点連結となることを示そう。 証明 — 底辺 BC の中点をLとすると、MN = BL かつ MN ∥ BLより、一組の対辺が平行かつ等長であるから、四角形 MBLN は平行四辺形。平行四辺形の定義から、MB ∥ LN。すると中点連結定理の逆(前述)より、点 N は AC の中点。さらに MN ∥ BCより、中点連結定理の逆(前述)より、点 M は AB の中点。
定理
証明
中点連結定理の逆
a. 三角形の中点連結は、底辺と平行の方向を持つ。
b. 三角形の中点連結は、底辺の半分の長さを持つ。
a. 三角形の底辺を除く一辺の中点から、残りの一辺上の点に向けて、底辺と平行な方向に線分を引くと、残りの辺上の点は、その辺の中点となる。
b. 三角形の底辺を除く一辺の中点から、残りの一辺上の点に向けて、底辺の半分の長さの線分を引くと、残りの辺上の点は、その辺の中点となる。