中心つき四面体数（ちゅうしんつきしめんたいすう、英: centered tetrahedral number）は、四面体についての中心つき図形数。非負整数 n に対して、n 番目の中心つき四面体数は C n = 1 3 ( 2 n + 1 ) ( n 2 + n + 3 ) {\displaystyle C_{n}={\frac {1}{3}}(2n+1)(n^{2}+n+3)}

で与えられる[1]。最初のいくつかの中心つき四面体数は1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589, 791, ... （オンライン整数列大辞典の数列 A005894）

である。
定義と公式

まず、0番目は1点のみと見なす。すなわち C0 = 1 である。以下帰納的に、n 番目の点の並びは n - 1 番目の点の周りに、四面体の面状に点を付け加えたものと見なす。付け加える点は、通常の四面体数 T n + 1 = 1 6 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) {\displaystyle T_{n+1}={\frac {1}{6}}(n+1)(n+2)(n+3)}

の点の並びのうち、表面のみの部分である。n = 1, 2, 3 に対しては全ての点が表面にあるが、n ≥ 4 に対しては表面のみの点の個数は（内部の点を抜いて） T n + 1 − T n − 3 = 1 6 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) − 1 6 ( n − 3 ) ( n − 2 ) ( n − 1 ) = 2 n 2 + 2 {\displaystyle T_{n+1}-T_{n-3}={\frac {1}{6}}(n+1)(n+2)(n+3)-{\frac {1}{6}}(n-3)(n-2)(n-1)=2n^{2}+2}

となる。形式上、n = 1, 2, 3 に対しても Tn - 3 = 0 となるので、全ての n ≥ 1 に対して C n = C n − 1 + ( 2 n 2 + 2 ) {\displaystyle C_{n}=C_{n-1}+(2n^{2}+2)}

が成り立つ。よって、 C n = C 0 + ∑ k = 1 n ( 2 k 2 + 2 ) = 1 3 ( 2 n + 1 ) ( n 2 + n + 3 ) {\displaystyle C_{n}=C_{0}+\sum _{k=1}^{n}(2k^{2}+2)={\frac {1}{3}}(2n+1)(n^{2}+n+3)}

である。
性質

4つの連続した四面体数の和である[2]：
C n = T n − 2 + T n − 1 + T n + T n + 1 {\displaystyle C_{n}=T_{n-2}+T_{n-1}+T_{n}+T_{n+1}}

ただし、n = -2, -1, 0 に対しては Tn = 0 と見なす。このことは、上記の定義から直ちに従う。四面体数は二項係数で表されるので、二項係数の性質を用いるなどして、様々な公式が得られる。例えば C n = ( n 0 ) + 4 ( n 1 ) + 6 ( n 2 ) + 4 ( n 3 ) {\displaystyle C_{n}={\binom {n}{0}}+4{\binom {n}{1}}+6{\binom {n}{2}}+4{\binom {n}{3}}}

が成り立つ。このことから、次のような意味付けができる。集合 X = {1, 2, 3, ..., n + 4} とその特定の部分集合 Y = {1, 2, 3, 4} を考えよう。4個の元からなる X の部分集合のうち、Y と共通部分を持つものの個数が、Cn に等しい[2]。

母関数は以下で与えられる[2]：
( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) ( 1 − x ) 4 ( = 1 + 5 x + 15 x 2 + 35 x 3 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ C n x n ) {\displaystyle {\frac {(1+x)(1+x^{2})}{(1-x)^{4}}}\quad \left(=1+5x+15x^{2}+35x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}x^{n}\right)}
脚注^ Deza, E.; Deza, M. (2012). Figurate Numbers. Singapore: World Scientific Publishing. pp. 126?128. .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 978-981-4355-48-3. https://books.google.com/books?id=cDxYdstLPz4C&q=%22centered+tetrahedron+numbers%22&pg=PA450 
^ a b c オンライン整数列大辞典の数列 A005894

表

話

編

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フェルマー数

メルセンヌ数

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ウッダル数

多項式数

キャロル数

ヒルベルト数（英語版）

Idoneal数（英語版）

キニア数

レイランド数

ローズチ数（英語版）

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レピュニット

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フィボナッチ数

ヤコブスタール数（英語版）

レオナード数（英語版）

リュカ数

パドヴァン数（英語版）

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