量子力学における並進演算子（へいしんえんざんし、英: translation operator）とは、ある方向にある大きさだけ粒子や場を移動させる演算子のこと。より具体的には、いかなる変位ベクトル x においても対応する並進演算子 T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} が存在し、x の大きさによって粒子や場を移動させる。例えばもし T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} が位置 r に位置する粒子に作用すると、その結果として粒子の位置は (r + x)になる。

並進演算子は線形かつユニタリーである。並進演算子は運動量演算子と密接に関係している。たとえば、y 方向に無限小だけ移動させる並進演算子は、運動量演算子の y 成分と単純な関係性を持つ。このことにより並進演算子がハミルトニアンと可換、つまり物理法則が並進不変であるとき、運動量保存則が保たれる。これはネーターの定理の一つの例である。
位置の固有ケットと波動関数への作用

並進演算子 T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} は粒子や場を x だけ動かす。したがって、位置演算子の固有状態 |r⟩ （つまり粒子の位置が確実に r の状態）に T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} を作用させると、その位置は (r + x) に移る。 T ^ ( x ) 。 r ⟩ = 。 r + x ⟩ {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {r}}\rangle =|{\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {x}}\rangle }

並進演算子の性質を記述する別の（等価な）方法は、位置空間の波動関数に基づくものである。粒子が位置空間の波動関数 ψ ( r ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})} を持ち、 T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} が粒子に作用したとき、新しい位置空間の波動関数 ψ ′ ( r ) {\displaystyle \psi '({\boldsymbol {r}})} は ψ ′ ( r ) = ψ ( r − x ) {\displaystyle \psi '({\boldsymbol {r}})=\psi ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {x}})} で定義される。この関係は ψ ′ ( r + x ) = ψ ( r ) {\displaystyle \psi '({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {x}})=\psi ({\boldsymbol {r}})} とするとより覚えやすく、「新しい位置での新しい波動関数の値は、元々の位置での元々の波動関数の値に等しい」[1]。

これら２つの記述が等価であることの例を示す。状態 |a⟩ は、波動関数 ψ ( r ) = δ ( r − a ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {a}})} に対応する(ここで δ はディラックのデルタ関数)。一方で状態 T ^ ( x ) 。 a ⟩ = 。 a + x ⟩ {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {a}}\rangle =|{\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {x}}\rangle } は、波動関数 ψ ′ ( r ) = δ ( r − ( a + x ) ) {\displaystyle \psi '({\boldsymbol {r}})=\delta ({\boldsymbol {r}}-({\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {x}}))} に対応する。これらは ψ ′ ( r ) = ψ ( r − x ) {\displaystyle \psi '({\boldsymbol {r}})=\psi ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {x}})} を満足する。

波動関数への並進演算子の作用のより一般的な導出:

位置演算子 ˆr はオブザーバブルであるため、その固有ベクトルの全体 { 。 r ⟩ } {\displaystyle \left\{|{\boldsymbol {r}}\rangle \right\}} は状態空間（英語版）の基底をなす[2]。 よってそれぞれのケットを、 { 。 r ⟩ } {\displaystyle \left\{|{\boldsymbol {r}}\rangle \right\}} 表示の波動関数で特徴づけることができる[3]。 ψ ( r ) = ⟨ r 。 ψ ⟩ {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})=\langle {\boldsymbol {r}}|\psi \rangle }

{ 。 r ⟩ } {\displaystyle \left\{|{\boldsymbol {r}}\rangle \right\}} 表示で

ケット r ^ 。 ψ ⟩ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}|\psi \rangle } の { 。 r ⟩ } {\displaystyle \left\{|{\boldsymbol {r}}\rangle \right\}} 表示の波動関数を考える。

位置演算子 ˆr はエルミートで、|r⟩ は位置演算子 ˆr の固有値 r についての固有ベクトルであることを用いると、 ⟨ r 。 r ^ 。 ψ ⟩ = r ⟨ r 。 ψ ⟩ = r ψ ( r ) {\displaystyle \langle {\boldsymbol {r}}|{\boldsymbol {\hat {r}}}|\psi \rangle ={\boldsymbol {r}}\langle {\boldsymbol {r}}|\psi \rangle ={\boldsymbol {r}}\psi ({\boldsymbol {r}})}

よって { 。 r ⟩ } {\displaystyle \left\{|{\boldsymbol {r}}\rangle \right\}} 表示での ˆr の作用は、単純な r 倍である。

後のセクションで説明するように、並進演算子が位置の固有基底でのブラに作用したときは次のようになる。 ⟨ r 。 T ^ ( x ) = ⟨ r − x 。 {\displaystyle \langle {\boldsymbol {r}}|{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})=\langle {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {x}}|}

よってケット T ^ ( x ) 。 ψ ⟩ {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})|\psi \rangle } の { 。 r ⟩ } {\displaystyle \left\{|{\boldsymbol {r}}\rangle \right\}} 表示の波動関数は次のように書ける。 ⟨ r 。 T ^ ( x ) 。 ψ ⟩ = ⟨ r − x 。 ψ ⟩ = ψ ( r − x ) {\displaystyle \langle {\boldsymbol {r}}|{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})|\psi \rangle =\langle {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {x}}|\psi \rangle =\psi ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {x}})}

並進の生成子としての運動量「運動量演算子」も参照
運動量の一般的な定義

初等的な物理学では通常、運動量は質量×速度と定義される。しかし並進演算子の観点から運動量を定義する、より基本的な方法がある。これはより正確には正準運動量と呼ばれ、電磁場中の荷電粒子の場合などでは運動量は質量×速度と等しくなるとは限らない[1]。この運動量の定義が特に重要である理由は、運動量保存則は正準運動量でのみ成り立ち、以下で示すように運動量が質量×速度（「運動学的運動量」と呼ばれる）として定義されたときは、普遍的に成り立つわけではないためである。

(正準)運動量演算子は、原点近くでの並進演算子の勾配として定義される。

p ^ = i ℏ ( ∇ T ^ ( x ) ) at  x = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {p}}}=i\hbar \left(\nabla {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})\right)_{{\text{at }}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}}}