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ディオファントス方程式（ディオファントスほうていしき、Diophantine equation）とは、整係数多変数高次不定方程式である。文脈として、整数解や有理数解を問題にしたい場合に用いられる用語であり、主に数論の研究課題と考えられている。古代アレクサンドリアの数学者ディオファントスの著作『算術』で、その有理数解が研究されたのにちなんだ名称である。
定義

ディオファントス方程式とは、整係数多変数高次不定方程式 ∑ a e 1 e 2 … e m x 1 e 1 x 2 e 2 ⋯ x m e m = 0 ( a e 1 e 2 … e m ∈ Z ) {\displaystyle \sum a_{e_{1}e_{2}\ldots e_{m}}x_{1}^{e_{1}}x_{2}^{e_{2}}\cdots x_{m}^{e_{m}}=0\quad (a_{e_{1}e_{2}\ldots e_{m}}\in \mathbb {Z} )}

である。整数および変数の定数乗の加減乗算からなる方程式は、すべてディオファントス方程式である。

指数部分も変数化した方程式も、広義のディオファントス方程式である。このような方程式は指数型ディオファントス方程式（exponential Diophantine equation）と呼ばれる。実際には、指数型ディオファントス方程式は通常のディオファントス方程式の複数の組に還元できることが知られている[1][2]。
特殊例

ディオファントス方程式の特殊例には以下のようなものがある。
ベズー方程式 a x + b y = d
ユークリッドの互除法の応用により、一般の整数解が求まる。
ピタゴラス方程式 x2 + y2 = z2
直角三角形の辺長に対応する。とくに自然数解をピタゴラス数といい、一般生成公式が存在する。
ペル方程式 x2 - n y2 = 1
連分数の応用により、一般の整数解が求まる。
楕円曲線 y2 = f (x) （f (x) は重根をもたない、3次または4次の多項式）
数論の中心的課題の一つである。とくに有理数解についての構造定理（モーデルの定理）がある。整数解は有限個しか存在せず、原理的には全ての整数解を求めることが可能。有限体上の楕円曲線の構造も考察されており、暗号理論などに応用されている。
超楕円曲線 y2 = f (x) （f (x) は重根をもたない、5次以上の多項式）
整数解は有限個しか存在せず、原理的には全ての整数解を求めることが可能。ファルティングスの定理により、有理数解も有限個しか存在しないが、それを全て求めることができるとは限らない。
トゥエ方程式 f (x, y) = k （f (x, y) は3次以上の斉次既約多項式）
整数解は有限個しか存在せず、原理的には全ての整数解を求めることが可能。この曲線の次数が3ならば楕円曲線と双有理同値になる。次数が4以上ならば、ファルティングスの定理により、有理数解も有限個しか存在しないが、それを全て求めることができるとは限らない。
課題

ディオファントス方程式の整数解や有理数解をもとめる問題は、古くから非常な難問として知られており、ディオファントス自身や、近代フランスの数学者フェルマーらが代表的な研究者として有名である。

アリヤバータは499年の著作で線型ディオファントス方程式 a y + b x = c {\displaystyle ay+bx=c} の整数解の解法を初めて明確に記し、これを「クッタカ法」と呼んだ。