三角分布確率密度関数

累積分布関数

母数 a :   a ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle a:~a\in (-\infty ,\infty )}
b :   a < b {\displaystyle b:~a<b}
c :   a ≤ c ≤ b {\displaystyle c:~a\leq c\leq b}
台 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}
確率密度関数 { 0 for  x < a , 2 ( x − a ) ( b − a ) ( c − a ) for  a ≤ x < c , 2 b − a for  x = c , 2 ( b − x ) ( b − a ) ( b − c ) for  c < x ≤ b , 0 for  b < x . {\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a\leq x<c,\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{for }}x=c,\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x\leq b,\\[4pt]0&{\text{for }}b<x.\end{cases}}}
累積分布関数 { 0 for  x ≤ a , ( x − a ) 2 ( b − a ) ( c − a ) for  a < x ≤ c , 1 − ( b − x ) 2 ( b − a ) ( b − c ) for  c < x < b , 1 for  b ≤ x . {\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x\leq a,\\[2pt]{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a<x\leq c,\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x<b,\\[4pt]1&{\text{for }}b\leq x.\end{cases}}}
期待値 a + b + c 3 {\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}}
中央値 { a + ( b − a ) ( c − a ) 2 for  c ≥ a + b 2 , b − ( b − a ) ( b − c ) 2 for  c ≤ a + b 2 . {\displaystyle {\begin{cases}a+{\sqrt {\frac {(b-a)(c-a)}{2}}}&{\text{for }}c\geq {\frac {a+b}{2}},\\[6pt]b-{\sqrt {\frac {(b-a)(b-c)}{2}}}&{\text{for }}c\leq {\frac {a+b}{2}}.\end{cases}}}
最頻値 c {\displaystyle c}
分散 a 2 + b 2 + c 2 − a b − a c − b c 18 {\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}
歪度 2 ( a + b − 2 c ) ( 2 a − b − c ) ( a − 2 b + c ) 5 ( a 2 + b 2 + c 2 − a b − a c − b c ) 3 2 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}}
尖度 − 3 5 {\displaystyle -{\frac {3}{5}}}
エントロピー 1 2 + ln ⁡ ( b − a 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)}
モーメント母関数 2 ( b − c ) e a t − ( b − a ) e c t + ( c − a ) e b t ( b − a ) ( c − a ) ( b − c ) t 2 {\displaystyle 2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}
特性関数 − 2 ( b − c ) e i a t − ( b − a ) e i c t + ( c − a ) e i b t ( b − a ) ( c − a ) ( b − c ) t 2 {\displaystyle -2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}