三次方程式（さんじほうていしき、英: cubic equation）とは、次数が 3 である代数方程式のことである。本項目では主に、実数を係数とする一変数の三次方程式を扱う。
概要

一般に一変数の三次方程式は a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 ( a 3 ≠ 0 ) {\displaystyle a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{3}\neq 0)}

の形で表現される。現代においては、三次方程式の解法といえば、主に代数的解法のことを意味する。

古代バビロニアにおいて既に代数的に解かれていたと考えられている二次方程式と違い、三次方程式が代数的に解かれたのは16世紀になってからである。11世紀頃、円錐曲線による作図によって三次方程式の解を幾何学的に表したウマル・ハイヤームなども、三次方程式を代数的に解くことはできないと考えていた。

三次方程式の代数的解法はガロア理論へと至る代数方程式論の始まりであり、カルダノが著書『アルス・マグナ』によって三次方程式と四次方程式の代数的解法を公表した1545年は、その影響の大きさから現代数学の始まりの年とされることもある。

まだ負の数が数学者達にあまり受け入れられていなかった時代であり、全ての係数が正の数であるとして扱われたために、例えば、2次の項が無い三次方程式はx3 = a1 x + a0x3 + a1 x = a0x3 + a0 = a1 x

の3つがあり、いずれも別の形の方程式とされた。

このように負の数ですら嫌悪された時代に、三次方程式の代数的解法は虚数をもたらした。三次方程式の解が全て正の実数である場合に限っても、代数的解法にこだわる限り虚数を避けては通れないのである。虚数に対する不安は、19世紀にコーシーやガウスが活躍するようになるまで続いた。

また、三次方程式と四次方程式の代数的解法の発見を基に、数学者達は 5 次以上の一般の代数方程式の代数的解法を追い求めた。最終的にこの代数的解法の存在は、アーベル-ルフィニの定理によって否定されるものの、ガロア理論として結実し、群や体などの基本的な代数的構造の概念を生み出した。
解の様子

三次方程式は、代数学の基本定理より、高々 3個の複素数解を持つ。中間値の定理より、実数を係数とする三次方程式は、少なくとも 1つの実数解を持つことが分かる。a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 (a3 ≠ 0)

が重解を持つ場合、その重解は、左辺を x で微分して得られる二次方程式3 a3 x2 + 2 a2 x + a1 = 0

の解でもあるため、比較的容易に三次方程式を解くことができる。重解以外の残りの解も実数である。

虚数解を持つ場合は、その共役複素数も解となり、残りの解は実数である。

三次方程式 a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 (a3 ≠ 0) の判別式 D はD = − 4 a13 a3 + a12 a22 − 4 a0 a23 + 18 a0 a1 a2 a3 − 27 a02 a32

となる。

判別式を計算すれば、具体的に根を求めなくても

D > 0 の時、3個の相異なる実数解を持つ。

D < 0 の時、1個の実数解と1組の共役な虚数解を持つ。

D = 0 の時は、実数の重解を持つ。

ということが分かる。D = 0 の時さらに��2 = − 2 a23 + 9 a1 a2 a3 − 27 a0 a32

と定義すれば ��2 = 0 の時、三重解を持つ。��2 ≠ 0 の時、1個の二重解と重複度 1 の実数解を1個持つ。��2 > 0 の時（二重解）<（もう一つの実数解）、��2 < 0 の時（二重解）>（もう一つの実数解）となる。
代数的解法
カルダノの方法

一般の三次方程式の代数的解法は、カルダノの方法あるいはカルダノの公式として知られている。a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 (a3 ≠ 0)

の両辺を a3 で割りx3 + A2 x2 + A1 x + A0 = 0

の形にする。( A n = a n a 3 {\displaystyle A_{n}={\frac {a_{n}}{a_{3}}}} ) x = y − A 2 3 {\displaystyle x=y-{\frac {A_{2}}{3}}}

により変数変換を行うと、2次の項が消え、 y 3 + ( A 1 − A 2 2 3 ) y + ( A 0 − 1 3 A 1 A 2 + 2 27 A 2 3 ) = 0 {\displaystyle y^{3}+\left(A_{1}-{\frac {{A_{2}}^{2}}{3}}\right)y+\left(A_{0}-{\frac {1}{3}}A_{1}A_{2}+{\frac {2}{27}}{A_{2}}^{3}\right)=0}

という三次方程式が得られる。見やすいように一次の係数を p, 定数項を q としy3 + p y + q = 0

と書く。

ここで y = u + v とおくと、u3 + v3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0

未知数 u, v がこの方程式を満たすには、u3 + v3 + q = 03uv + p = 0

となることが十分であるが、この十分条件を満たす u, v が以下に示すように求まる。根と係数の関係より、u3, v3 を解とする二次方程式は t 2 + q t − ( p 3 ) 3 = 0 {\displaystyle t^{2}+qt-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}=0}

この二次方程式を解の公式により解くと、 u 3 , v 3 = − q 2 ± ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 {\displaystyle u^{3},v^{3}=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}

故に、実数解の一つとして y = − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}}

が求まる。

この解法が見つけられた当時は複素数は知られていなかったため、これで解を求めたことになったが、 ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 < 0 {\displaystyle \left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}<0} の時、実数解が虚数で表されるという不合理が生じた。

その後、複素数についての研究が進みx3 = a

の解が ω を 1 の虚立方根として a 3 , ω a 3 , ω 2 a 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}},\omega {\sqrt[{3}]{a}},\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{a}}}