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三次函数のグラフ。零点 (y = 0) はグラフが x-軸と交わる点である。このグラフは二つの極値を持つ。 三次函数 f(x) = 1 - x + x2 + x3 のグラフ 三次函数 f(x) = 1 - x + x2 + x3 のガウス平面における三根

数学における三次函数（さんじかんすう、英: cubic function）とは、単に次数 3 の多項式函数との意味であって、しかし多くの場合にはより限定的な意味に解して、実（英語版）一変数（英語版）の実数値函数を考える。すなわち、実数体 R 上の多項式に対して、不定元への代入によって定められる函数という意味において、 f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}

（a, b, c, d は実数の定数で a ≠ 0）なる形の三次多項式の定める函数 f: R → R である。[1]
目次

1 性質

1.1 無限遠での振舞い

1.2 零点

1.3 単調性と極値

1.4 変曲点と対称性

1.5 正規形


2 三次抛物線

3 参考文献

4 関連項目

5 外部リンク

性質
無限遠での振舞い

任意の奇数次多項式函数がそうである通り、最高次係数が正 (a > 0) のとき lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=+\infty } , lim x → − ∞ f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=-\infty }

および最高次係数が負 (a < 0) のとき lim x → + ∞ f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=-\infty } , lim x → − ∞ f ( x ) = + ∞ {\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=+\infty }

が成り立つ。
零点詳細は「三次方程式」を参照

（任意の多項式函数がそうである通り）三次函数は連続函数であるから中間値の定理が適用できて、上で見た無限遠での振舞いと合わせると、任意の三次函数が少なくとも一点の実零点を持つことが分かる。他方、代数方程式論の基本定理により、任意の n-次多項式函数の零点の個数は高々 n 個であるから、まとめると三次函数の実零点の数は、一つ以上三つ以下といことになる。

三次函数の零点の配置については、三次方程式やカルダノの公式（ドイツ語版）などの項に譲る。一般の三次函数に対する判別式は D = b 2 c 2 − 4 a c 3 − 4 b 3 d − 27 a 2 d 2 + 18 a b c d {\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}

で与えられ、これを用いて零点の類別を行うことができる。すなわち、D > 0 ならば相異なる三零点、D < 0 ならば一零点であり、D = 0 のときには、一つの単純零点ともう一つの二位の零点を持つかあるいは一つの三位零点を持つ。

ニュートン法などの数値的な零点探索も行うことができる。
単調性と極値

任意の多項式函数と同じく、三次函数 f は微分可能である。その一階導函数 f' は二次函数 f ′ ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c {\displaystyle f'(x)=3ax^{2}+2bx+c}

であり、この判別式 4b2 − 12ac が正（すなわち b2 > 3ac）のとき、f は極大値と極小値をちょうど一つずつとる[1]。さもなくば f は狭義単調函数（より精確に、a > 0 ならば狭義単調増大、a < 0 ならば狭義単調減少）である。
変曲点と対称性

各三次関数 f はただ一つの変曲点 (xW, f(xW)) を持つ。この変曲点は x W = − b 3 a {\displaystyle x_{W}=-{\frac {b}{3a}}}

で与えられ、これは二階導函数 f"(x) = 6ax + 2b の唯一の零点である。[1]

三次函数 f のグラフは、変曲点に関して点対称である[2]。
正規形「臨界点 (数学)」も参照