三十七角形（さんじゅうしちかくけい、さんじゅうななかっけい、triacontaheptagon）は、多角形の一つで、37本の辺と37個の頂点を持つ図形である。内角の和は6300°、対角線の本数は629本である。
正三十七角形

正三十七角形においては、中心角と外角は9.729…°で、内角は170.27…°となる。一辺の長さが a の正三十七角形の面積 S は S = 37 4 a 2 cot ⁡ π 37 ≃ 108.67963 a 2 {\displaystyle S={\frac {37}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{37}}\simeq 108.67963a^{2}}

cos ⁡ ( 2 π / 37 ) {\displaystyle \cos(2\pi /37)} を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式→三次方程式（2つ）→二次方程式と解く必要がある。

以下には、中間結果（三次方程式を1回解いた際の関係式）を示す。 λ 1 = 2 cos ⁡ 2 π 37 + 2 cos ⁡ 12 π 37 + 2 cos ⁡ 16 π 37 + 2 cos ⁡ 20 π 37 + 2 cos ⁡ 22 π 37 + 2 cos ⁡ 28 π 37 = − 1 3 + 37 3 − 11 + 3 3 i 2 37 3 ω 2 + 37 3 − 11 − 3 3 i 2 37 3 ω λ 2 = 2 cos ⁡ 4 π 37 + 2 cos ⁡ 18 π 37 + 2 cos ⁡ 24 π 37 + 2 cos ⁡ 30 π 37 + 2 cos ⁡ 32 π 37 + 2 cos ⁡ 34 π 37 = − 1 3 + 37 3 − 11 + 3 3 i 2 37 3 ω + 37 3 − 11 − 3 3 i 2 37 3 ω 2 λ 3 = 2 cos ⁡ 6 π 37 + 2 cos ⁡ 8 π 37 + 2 cos ⁡ 10 π 37 + 2 cos ⁡ 14 π 37 + 2 cos ⁡ 26 π 37 + 2 cos ⁡ 36 π 37 = − 1 3 + 37 3 − 11 + 3 3 i 2 37 3 + 37 3 − 11 − 3 3 i 2 37 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&2\cos {\frac {2\pi }{37}}+2\cos {\frac {12\pi }{37}}+2\cos {\frac {16\pi }{37}}+2\cos {\frac {20\pi }{37}}+2\cos {\frac {22\pi }{37}}+2\cos {\frac {28\pi }{37}}=-{\frac {1}{3}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega ^{2}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega \\\lambda _{2}=&2\cos {\frac {4\pi }{37}}+2\cos {\frac {18\pi }{37}}+2\cos {\frac {24\pi }{37}}+2\cos {\frac {30\pi }{37}}+2\cos {\frac {32\pi }{37}}+2\cos {\frac {34\pi }{37}}=-{\frac {1}{3}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega +{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega ^{2}\\\lambda _{3}=&2\cos {\frac {6\pi }{37}}+2\cos {\frac {8\pi }{37}}+2\cos {\frac {10\pi }{37}}+2\cos {\frac {14\pi }{37}}+2\cos {\frac {26\pi }{37}}+2\cos {\frac {36\pi }{37}}=-{\frac {1}{3}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\\\end{aligned}}}

各式を3つの組に分ける。 cos ⁡ k π 37 {\displaystyle \cos {\frac {k\pi }{37}}} と cos ⁡ 2 9 k π 37 ( = cos ⁡ − 6 k π 37 ) {\displaystyle \cos {\frac {2^{9}k\pi }{37}}\left(=\cos {\frac {-6k\pi }{37}}\right)} λ 1 = ( 2 cos ⁡ 2 π 37 + 2 cos ⁡ 12 π 37 ) + ( 2 cos ⁡ 20 π 37 + 2 cos ⁡ 28 π 37 ) + ( 2 cos ⁡ 16 π 37 + 2 cos ⁡ 22 π 37 ) = u 1 + u 2 + u 3 λ 2 = ( 2 cos ⁡ 4 π 37 + 2 cos ⁡ 24 π 37 ) + ( 2 cos ⁡ 30 π 37 + 2 cos ⁡ 32 π 37 ) + ( 2 cos ⁡ 18 π 37 + 2 cos ⁡ 34 π 37 ) = v 1 + v 2 + v 3 λ 3 = ( 2 cos ⁡ 10 π 37 + 2 cos ⁡ 14 π 37 ) + ( 2 cos ⁡ 6 π 37 + 2 cos ⁡ 36 π 37 ) + ( 2 cos ⁡ 8 π 37 + 2 cos ⁡ 26 π 37 ) = w 1 + w 2 + w 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&\left(2\cos {\frac {2\pi }{37}}+2\cos {\frac {12\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {20\pi }{37}}+2\cos {\frac {28\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {16\pi }{37}}+2\cos {\frac {22\pi }{37}}\right)=u_{1}+u_{2}+u_{3}\\\lambda _{2}=&\left(2\cos {\frac {4\pi }{37}}+2\cos {\frac {24\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {30\pi }{37}}+2\cos {\frac {32\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {18\pi }{37}}+2\cos {\frac {34\pi }{37}}\right)=v_{1}+v_{2}+v_{3}\\\lambda _{3}=&\left(2\cos {\frac {10\pi }{37}}+2\cos {\frac {14\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {6\pi }{37}}+2\cos {\frac {36\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {8\pi }{37}}+2\cos {\frac {26\pi }{37}}\right)=w_{1}+w_{2}+w_{3}\\\end{aligned}}}