三十一角形（さんじゅういちかくけい、さんじゅういちかっけい、triacontahenagon）は、多角形の一つで、31本の辺と31個の頂点を持つ図形である。内角の和は5220°、対角線の本数は434本である。
正三十一角形

正三十一角形においては、中心角と外角は11.612…°で、内角は168.387…°となる。一辺の長さが a の正三十一角形の面積 S は S = 31 4 a 2 cot ⁡ π 31 ≃ 76.21197 a 2 {\displaystyle S={\frac {31}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{31}}\simeq 76.21197a^{2}}

cos ⁡ ( 2 π / 31 ) {\displaystyle \cos(2\pi /31)} は五次方程式、三次方程式を解くことにより求められる[1]。

z 5 = 1 {\displaystyle z^{5}=1} の複素数解を σ , σ 2 , σ 3 , σ 4 {\displaystyle \sigma ,\sigma ^{2},\sigma ^{3},\sigma ^{4}} として

以下には、中間結果（五次方程式を1回解いた際の関係式）を示す。 x 1 = 2 cos ⁡ 2 π 31 + 2 cos ⁡ 10 π 31 + 2 cos ⁡ 12 π 31 = − 1 + λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 5 x 2 = 2 cos ⁡ 4 π 31 + 2 cos ⁡ 20 π 31 + 2 cos ⁡ 24 π 31 = − 1 + λ 1 σ 4 + λ 2 σ 3 + λ 3 σ 2 + λ 4 σ 5 x 3 = 2 cos ⁡ 8 π 31 + 2 cos ⁡ 22 π 31 + 2 cos ⁡ 14 π 31 = − 1 + λ 1 σ 3 + λ 2 σ + λ 3 σ 4 + λ 4 σ 2 5 x 4 = 2 cos ⁡ 16 π 31 + 2 cos ⁡ 18 π 31 + 2 cos ⁡ 28 π 31 = − 1 + λ 1 σ 2 + λ 2 σ 4 + λ 3 σ + λ 4 σ 3 5 x 5 = 2 cos ⁡ 6 π 31 + 2 cos ⁡ 26 π 31 + 2 cos ⁡ 30 π 31 = − 1 + λ 1 σ + λ 2 σ 2 + λ 3 σ 3 + λ 4 σ 4 5 {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{31}}+2\cos {\frac {10\pi }{31}}+2\cos {\frac {12\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}+\lambda _{4}}{5}}\,\\&x_{2}=2\cos {\frac {4\pi }{31}}+2\cos {\frac {20\pi }{31}}+2\cos {\frac {24\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma ^{4}+\lambda _{2}\sigma ^{3}+\lambda _{3}\sigma ^{2}+\lambda _{4}\sigma }{5}}\,\\&x_{3}=2\cos {\frac {8\pi }{31}}+2\cos {\frac {22\pi }{31}}+2\cos {\frac {14\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma ^{3}+\lambda _{2}\sigma +\lambda _{3}\sigma ^{4}+\lambda _{4}\sigma ^{2}}{5}}\,\\&x_{4}=2\cos {\frac {16\pi }{31}}+2\cos {\frac {18\pi }{31}}+2\cos {\frac {28\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma ^{2}+\lambda _{2}\sigma ^{4}+\lambda _{3}\sigma +\lambda _{4}\sigma ^{3}}{5}}\,\\&x_{5}=2\cos {\frac {6\pi }{31}}+2\cos {\frac {26\pi }{31}}+2\cos {\frac {30\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma +\lambda _{2}\sigma ^{2}+\lambda _{3}\sigma ^{3}+\lambda _{4}\sigma ^{4}}{5}}\,\\\end{aligned}}}